Logaritmos
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Logaritmos
por AndersCarlos Qua 18 maio 2011, 16:00
Olá a todos.
Estava tentando resolver essa questão do Fundamentos de Matemática Elementar, mas ainda não obtive êxito.
Se 0 < x ≠ 1, demonstre que:
 \times \frac{1}{log_x^2 2} "\frac{1}{log_x 2 \times log_x 4} + \frac{1}{log_x 4 \times log_x 8} + ... + \frac{1}{log_x 2^{n-1} \times log_x 2^n} = (1 - \frac{1}{n}) \times \frac{1}{log_x^2 2}")
Sugestão:
} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} "\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}")
Estava tentando resolver essa questão do Fundamentos de Matemática Elementar, mas ainda não obtive êxito.
Se 0 < x ≠ 1, demonstre que:
Sugestão:
AndersCarlos- Iniciante
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Re: Logaritmos
por Euclides Qua 18 maio 2011, 17:38
Observe que a expressão
não vale para
e suponho que seja algum êrro. A expressão que funciona é
Daí teríamos:
\log^2_x2}=\\\\\frac{1}{\log^2_x2}\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{n(n+1)} \right )= \\\\\frac{1}{\log^2_x2}\left ( 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...+\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)} \right )= \\\\\\\Rightarrow \frac{1}{\log^2_x2}\left ( 1-\frac{1}{(n+1)} \right ) "\\\frac{1}{\log_x2\times\log_x4}+\frac{1}{\log_x4\times\log_x8}+...+\frac{1}{\log_x2^{n}\times\log_x2^{n{\color{DarkRed} \boldsymbol{+}}1}}=\\\\\frac{1}{2\log^2_x2}+\frac{1}{6\log^2_x2}+...+\frac{1}{n(n+1)\log^2_x2}=\\\\\frac{1}{\log^2_x2}\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{n(n+1)} \right )= \\\\\frac{1}{\log^2_x2}\left ( 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...+\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)} \right )= \\\\\\\Rightarrow \frac{1}{\log^2_x2}\left ( 1-\frac{1}{(n+1)} \right )")
não vale para
Daí teríamos:
____________________________________________
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Re: Logaritmos
por Luck Qua 18 maio 2011, 18:05
Olá AndersCarlos, essa soma é conhecida como soma telescópica..
Luck- Grupo
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Re: Logaritmos
por AndersCarlos Qua 18 maio 2011, 19:20
Euclides e Luck,
Obrigado pelas respostas, verdadeiramente a condição não é válida para, pois acabaria por gerar uma divisão por 0, mas, Luck conseguiu responder a questão utilizando 
sem modificá-la.
Luck, só uma ligeira pergunta, por que no momento em que você começa a cortar as expressões, o logaritmo está elevado ao quadrado?
Edit: Não é mais necessário responder a pergunta, percebi que eu poderia isolar os logaritmos, aplicar a propriedade} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} "\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}")
e depois distribuí-los para cada termo. Obrigado pela ajuda.
Obrigado pelas respostas, verdadeiramente a condição não é válida para
Luck, só uma ligeira pergunta, por que no momento em que você começa a cortar as expressões, o logaritmo está elevado ao quadrado?
Edit: Não é mais necessário responder a pergunta, percebi que eu poderia isolar os logaritmos, aplicar a propriedade
AndersCarlos- Iniciante
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