múltiplo de 24

Boa tarde
Estou com um exercício, que fiz a primeira parte, mas a segunda, não estou conseguindo. Poderiam me ajudar?

Se n não é múltiplo de 2 ou 3, então n² - 1 é múltiplo de 24. 
Então:  n é da forma n = 6k + 1 ou n = 6k + 5.

•  Se n = 6k + 1, temos:  
  

          n² - 1 = (6k + 1)² - 1 = 36k² + 12k +1 - 1 = 12k(3k + 1)
          Como n é ímpar, 3k + 1 é par, logo 24|n² - 1

• Se n = 6k + 5, temos:
  

         n² - 1 = (6k + 5)² - 1 = 36k² + 60k +25 - 1 = 36k² + 60k +24= 12(3k² + 5k + 2)


Daí para frente, não consigo terminar.

"Como n é ímpar, 3k + 1 é par, logo 24|n² - 1"

Não dá para concluir que 3k + 1 é par.

Contra exemplo

k = 2

6 . 2 + 1 = 13

3 . 2  + 1 = 7

Temos dois dados para analisar

n = 6k + 1 é n = 6k + 5

Primeiro caso

(6k + 1)^2 - 1 = 12k(3k + 1)

Se k é par, então 8 divide n^2 - 1. Temos também que 3 divide 12k, então

24 | n^2 - 1

Se k é ímpar, então 3k + 1 é par, pois o produto de dois números ímparés é ímpar (3k) e a soma se dois ímpares é par (3k + 1)

Então 8 divide n^2 - 1 e 3 também

24 | n^2 - 1, se n = 6k + 1

Se n é da forma 6k+ 5, então

(6k + 5)^2 - 1 = (6k + 4)(6k + 6) = 12(3k + 2)(k + 1)

Se k é ímpar,  então (k + 1) é par, portanto 8 divide n^2 - 1 e 3 também

24 | n^2 - 1

Se k é par, então 3k + 2 é par e portanto 8 divide

Portanto


24 | n^2 - 1  Para todo n não múltiplo de 3 ou de 2

Noooossssaaaaa, muito obrigada. Valeu!!!!!!