Dependência Linear

a, b, e c não podem ser simultaneamente nulos, pela hipótese de u, v, w serem LI.

Logo, olhando para o sistema, temos que "na pior das hipóteses", duas das incógnitas são nulas. Contudo, a terceira não poderá ser, dado a hipótese de LI. Logo, a única opção é que a soma deas, a + b + c seja 0.
Mas, se a + b + c = 0, então a + b + c + 1  = 1, que é diferente de 0.

Ashitaka, eu não consegui entender muito bem. Veja:

"a, b, e c não podem ser simultaneamente nulos, pela hipótese de u, v, w serem LI."

O vetor nulo é sempre L.D.? Pergunto isso, pois se a, b e c são forem nulos, tem-se t=(0,0,0), o que inviabilizaria a ideia de que t L.I. caso o vetor nulo seja sempre L.D..

"Logo, olhando para o sistema, temos que "na pior das hipóteses", duas das incógnitas são nulas. Contudo, a terceira não poderá ser, dado a hipótese de LI."

Até aqui eu entendi.

"...Logo, a única opção é que a soma deas, a + b + c seja 0.
Mas, se a + b + c = 0, então a + b + c + 1  = 1, que é diferente de 0."

Ashitaka, esta parte eu não entendi muito bem . Se, "na pior das hipóteses" duas das incógnitas são nulas, por que a+b+c tem que ser igual a 0. Neste caso, a terceira incógnita não seria nula também?

Obrigada.

Primeiramente, note que aquele a, b e c do t = au + bv + cw não é o mesmo a, b e c usados na combinação linear logo abaixo. É um infortúnio terem utilizado as mesmas letras. Essa tripla referente ao t são valores fixos que nos dizem que t é uma combinação linear de u, v e w. Para provar que a outra sequência dada é LI, devemos provar que dados números reais quaisquer, isto é, outro a, b e c, aquela igualdade será nula se, e somente se, a = b = c = 0.

Vamos provar a ida: (u + t, v + t, w + t) é LI ----> a + b + c + 1 != 0

m(u + t) + n(v + t) + p(w + t) = 0
Como estamos partindo da hipótese de que (u + t, v + t, w + t) é LI, sabemos, de antemão, que eles são LI se, e somente se, m = n = p = 0.

Desenvolvendo a equação:
u(m + a(m+n+p)) + v(n + b(m+n+p)) + w(p + a(m+n+p)) = 0

Como u, v, w são também LI:
m + a(m + n + p) = 0
n + b(m + n + p) = 0
p + c(m + n + p) = 0

Somando tudo:
(m + n + p)(a + b + c + 1) = 0
Lembra-se que, da hipótese e da parte ali em negrito, a única possibilidade era se m = n = p = 0? Logo, a + b + c + 1 não pode ser 0.
Fica provado, então, que a + b + c + 1 != 0. Provamos, então, a ida. Agora você pode provar a volta, mas os passos serão essencialmente os mesmos que foram feitos para a ida.

Muito obrigada.