STEINBRUCH - Base de um Espaço Vetorial

por Convidado Ter 18 Jul 2017, 17:56

O conjunto B={(1, 2, 1), (-1, -3, 0)} é base de ℝ³?

Bom, eu sei que as condições para que B seja base de ℝ³ são:

1°) B tem de ser linearmente independente;
2°) B deve gerar o espaço ℝ³.

Fazendo as contas eu descobri que B é linearmente independente. Para a segunda condição eu responderia o seguinte: sendo B um conjunto constituído por dois vetores, os quais, quando combinados linearmente, geram o espaço ℝ², ou seja, geram um plano e, portanto, não geram todo o espaço ℝ³. Eu queria saber se essa resposta é adequada para a questão.

por **Jader** Ter 18 Jul 2017, 17:58

Para gerar o R³ a base deve conter 3 vetores LI.

Nesse caso ela gera só um subespaço de R³ e não o R³ todo.

por Convidado Ter 18 Jul 2017, 18:10

"Nesse caso ela gera só um subespaço de R³ e não o R³ todo."

Esse subespaço, então, não seria o ℝ², mas sim, como você mesmo disse, seria apenas um subespaço de ℝ³?

por SergioEngAutomacao Ter 18 Jul 2017, 18:12

Outra linha de raciocínio.
Se esses vetores são supostamente as bases do R3, logo deve ser possível escrever qualquer vetores do R3 como combinação linear de suas bases, não é?
Pois vamos tentar escrever o vetor (0,0,1), que é do R3, como combinação linear das supostas bases.

(0,0,1) = x(1,2,1) + y(-1,-3,0)

(I)0 = x - y
(II)0 = 2x - 3y
(III)1 = x + y0 - > x =1

(III) em (I)

0 = 1 - y - > y = 1

(III) e (I) em (II)

0 = 2*1 + 3*1

3 = -2.

Logo o sistema não pode ser satisfeito, logo o problema não tem solução, logo os vetores apresentados não são base de R3.