grafico derivada

Dada f(x)= x⁴+x³-(1/2)x² Encontre os pontos de máximo, mínimo, inflexões, bem como intervalos de crescimento e decrescimento de f e estude a concavidade de G(f)

f(x) = x^4 + x^3 - (1/2)x^2

Vamos derivar.

4x^3 + 3x^2 - x = f'(x)

Para pesquisar máximos e mínimos, igualamos a primeira derivada a zero, o que nos auxilia a encontrar pontos em que a tangente que toca o gráfico tem inclinação zero.

4x^3 + 3x^2 - x = 0
1 = 3x + 4x^2
4x^2 + 3x -1 = 0

 Encontramos candidatos a pontos de máximo e minimo, são as raízes dessa parábola e o zero. -1, 1/4 e 0.

Agora vamos analisar o comportamento da função principal em torno desses candidatos.:
f(x) = x^4 + x^3 - (1/2)x^2

f(-1) = 1 - 1 - 0,5 = -0,5
f(-2) = 7
f(0) = 0.
f(0,125) = algo entre 0 e -0,011.
f(0,25) = ~-0,011
f(1) = 1 + 1 -0,5 = 1,5.

Como f(0,25) < f(0) < f(1), temos f(0,25) como mínimo local.

Como f(-1) < f(0) < f(-2), f(-1) é um mínimo local, e como é menor que f(0,25) temos que f(-1) é mínimo global também.

Zero é máximo local pois f(-0,25) < 0 e f(0,125) > 0.

Com base no já exposto, conclui-se que a função decresce de menos infinito até -1, e cresce de -1 até 0, decresce de 0 até 0,25 e sobre de 0,25 até o mais infinito.

Terminada a análise da primeira derivada, agora procedemos para a segunda derivada para analisar inflexão.

x^4 + x^3 - (1/2)x^2 = f(x)

4x^3 + 3x^2 - x = f'(x)

4*3x^2 + 6x - 1 = f''(x)

f''(x) = 12x^2 + 6x -1

igualamos a segunda derivada a zero para estudar intervamos de concavidade para cima e para baixo.

0 = 12x^2 +6x -1

raízes: ~0,132 e ~-0,632
Vamos estudar o sinal da segunda derivada estipulado nesses intervalos.
f''(0) = -1
f''(-1) = maior que 1.
f''(1) = maior que 1.

Logo, é convexo de - infinito até ~-0,632, é côncavo de -0,632 até ~0,132, e convexo de ~0,132 até o infinito.

As raízes da segunda derivada são os pontos de inflexão.

Podemos plotar o gráfico no google e verificar que o gráfico dialoga com os resultados encontrados.

Espero ter ajudado.

Estava tentando resolver e percebi q errei no enunciado na verdade a f(x)= x^4-x^3-(1/2)x^2

bom mas o raciocínio é o mesmo, essa função até tem os cálculos mais fáceis.

Então o meu mínimo global seria f(1) e o máximo f(-1)?

Plotei o gráfico e vi que tem um mínimo local/global em f(-1) mas não tem máximos. Digite a função no mecanismo de busca do google e tire suas duvidas olhando o gráfico.