Trigonometria

por rumble01 Dom 09 Abr 2017, 20:08

Quais os valores de x que satisfazem a equação $cos(x) - cos(\frac{x}{2})= 2?$

a) -π/2 $\leq x\leq$ π/2
b) x= kπ, k ∈ ℤ
c) x= (k +1)π, k ∈ ℤ
d) x= (2k+2)π, k ∈ ℤ
e) x= (4k +2)π, k ∈ ℤ

RESPOSTA:

por **Elcioschin** Dom 09 Abr 2017, 20:57

cos(x) = cos(x/2 + x/2) = 2.cos²(x/2) - 1

[2.cos²(x/2) - 1] - cos(x/2) = 2

2.cos²(x/2) - cos(x/2) - 3 = 0 --> Equação do 2º grau:

∆ = (-1)² - 4.2.(-3) ---> ∆ = 25 ---> √∆ = 5

cos(x/2) = (1 ± 5)/2.2 ---> cos(x/2) = 3/2 (não serve) e cos(x/2) = - 1

Na 1ª volta ---> x/2 = pi ---> x = 2.pi

Testando: cos(2.pi) - cos(pi) = 2 ---> 1 - (-1) = 2 ---> 2 = 2 ---> OK

Fórmula geral para k voltas ---> x = 2.k.pi + 2.pi = (2.k + 2).pi

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