Recorrência

Considere o conjunto dos números escritos com os algarismos 1, 2 e 3, em que o algarismo 1 aparece uma quantidade par  de vezes (por exemplo, 2322 e 12123). Seja an a quantidade desses números contendo exatamente n algarismos.

a) Liste todos esses números para n = 1 e n = 2, indicando os valores a1 e a2.

b) Explique porque an satisfaz a equação de recorrência an+1 = (3^n - an) + 2 an, para n>=1 (note que 3^n é o número total de números com n algarismos iguais a 1, 2 ou 3).

c) Resolva a equação de recorrência em (b). 

o ítem (a), eu fiz e achei a1 = 2 e a2 = 5 (será que está certo?)

Confesso que não entendi o enunciado:"em que o algarismo 1 aparece uma quantidade par  de vezes
Por que em 2 e 3 tem um número par de algarismos iguais a 1?

Segue resolução encontrada na net, espero que lhe ajude.

(a) Para n = 1 só há três números possíveis: 1, 2 e 3. Somente os dois últimos têm um número par de algarismos iguais a 1 (neste caso, nenhum algarismo igual a 1). Então a1 = 2. 
Os números de 2 algarismos são: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, num total de 9 = 3 2 . Cinco deles têm uma quantidade par de algarismos iguais a 1, então a2 = 5. 

(b) (Antes de fazer o exercício, pode-se verificar se a fórmula está correta para n = 1: 5 = a2 = (3^1 − a1) + 2a1 = 3 + a1 = 3 + 2 = 5.) Observa-se primeiro que a quantidade de números com n algarismos tendo uma quantidade ímpar de algarismos iguais a 1 é 3^n − an, pois o número total de sequências é 3^n . 
Para obter a relação de recorrência, observe que todo número de n + 1 algarismos é uma concatenação de um número de n algarismos com um número de 1 algarismo. Para que a quantidade de algarismos iguais a 1 do número de n + 1 algarismos seja par é preciso que: ou o número de algarismos iguais a 1 de cada um dos números concatenados seja ímpar ou o número de algarismos iguais a 1 de cada um dos números concatenados seja par. Então, para calcular an+1, soma-se o número de concatenações do primeiro caso (ímpar-ímpar) com o número de concatenações do segundo caso (par-par). Isto dá a(n+1) = (3^n − an) · (3^1 − a1) + (an · a1) , isto é, a fórmula do enunciado, já que a1 = 2. 

c) Observa-se que a(n+1) = an + 3^n , apenas simplificando-se a expressão. Isto implica an = a1 + 3^1 + 3^2 + . . . + 3^(n−1) = 1 + (1 + 3 + 3^2 + . . . + 3^(n−1)), em que a expressão entre parênteses é a soma dos n primeiros termos da progressão geométrica de termo inicial 1 e razão 3, que vale (3^n − 1)/(3 − 1) . Portanto an = (3^n + 1)/ 2

Boa tarde Petras

O que eu entendi é :
Os números de 2 algarismos são: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, num total de 9 = 3 2 . Cinco deles têm uma quantidade par de algarismos iguais a 1, então a2 = 5. 


11 = 1 + 1 = 2
12 =1 + 2 = 3 (tá fora, pois tenho número ímpar de 1, 3 = 1 + 1 + 1)
13 = 1 + 3 = 4, 4 = 1 + 1 + 1 + 1
e assim por diante. Então tenho, 11, 13, 22, 31 e 33, tenho 5 números que tem na soma número par de 1, por isso a1 = 2 e a2 = 5


qto aos ítens b e c, se vc puder me dar mais alguma luz, agradeço, pois não consegui entendê-los

Para mim está mal formulado. Quando ele diz aparece o algarismo 1 , para mim seria: 11 (2 algarismos 1 (1111) 4 algarismos 1 (121) 2 algarismos 1.
Pela resolução ele considera quantos algarismos de dígito 1 compõe os algarismos dos números. 
13 aparece um algarismo 1 e 3 "ocultos".

Obrigada