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Mensagem por Convidado Sáb 28 Jan 2017, 22:42

O Quadrilátero Convexo ABCD está inscrito em uma circunferência de raio 5 cm . Se AB = 8 cm  AC = 3√10 ,  CD =6 cm e Quadrilátero Inscrito Gif , calcule a área do quadrilátero .     Gab 39 , achei uma questão interessante porém não conseguir desenvolver.

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Mensagem por Mr.Matheus Dom 29 Jan 2017, 02:02

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Abraços
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Mensagem por raimundo pereira Dom 29 Jan 2017, 22:00

Acho que tem caroço nesse angu.
Penso que é: BC=6 e não CD=6 .
Vamos deixar o amigo Medeiros esmiuçar essa dúvida. 

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Mensagem por Medeiros Seg 30 Jan 2017, 01:33

Raimundo

Entendo que o enunciado está correto e tem um gabarito consistente -- apesar de que o colega Nanzinho não transcreveu corretamente os limites do ângulo ADC (60° < ADC < 90°, em vermelho a minha opinião). E, também, ele não citou DE QUAL olimpiada foi tirada esta questão.

AC=3√10 é uma diagonal e o problema resume-se numa extensiva aplicação da lei dos cossenos e do cálculo do cos do arco suplementar  duplo.

O Mr.Matheus não abordou isto na sua resolução mas, com CD=6, as diagonais são perpendiculares e a outra mede BD = 13√10/5 , donde a área também é obtida pelo semi-produto das diagonais.

Obs.: ao resolver, facilita muito se lembrarmos de dois ternos pitagóricos: {3, 4, 5} e {7, 24, 25}

Grato por lembrar de mim. Se quiser, posso colocar a minha resolução. Abç.


Última edição por Medeiros em Ter 31 Jan 2017, 03:10, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : riscar meu erro de: (1) interpretação; e (2) terminologia.)
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Mensagem por raimundo pereira Seg 30 Jan 2017, 13:46

Oi Medeiros , mais uma vez obrigado. Agradeço antecipadamente se postar a sua resolução. grt :cyclops:
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Mensagem por Elcioschin Seg 30 Jan 2017, 15:37

Quadrilátero Inscrito 27y7rzl

8² = 5² + 5² - 2.5.5.cosx ---> cosx = - 7/25 ---> senx = 24/25

6² = 5² + 5² - 2.5.5.cosz ---> cosz = 7/25 ---> senz = 24/25

Notem que x e z são suplementares

(3.√10)² = 5² + 5² - 2.5.5.cos(x + y) ---> cos(x + y) = - 4/5 ---> sen(x + y) = 3/5

Basta resolver o sistema para calcular x, y, z e o seno e cosseno de AÔD = 360º - x - y - z
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Mensagem por Convidado Seg 30 Jan 2017, 15:59

Obrigado a todos .

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Mensagem por Medeiros Ter 31 Jan 2017, 03:47

Raimundo
segue a resolução que tinha feito. No texto, os círculos rosa numerados servem para a próxima mensagem.
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Mensagem por Medeiros Ter 31 Jan 2017, 04:04

Raimundo,
quando percebi a perpendicularidade das diagonais "encuquei " em obter a área através delas. Mas tem um modo mais rápido. 

Sendo que sen(180° - x) = sen(x), da mensagem acima executamos os passos (1) e (3) e, depois, o passo (4) abaixo.
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Mensagem por raimundo pereira Ter 31 Jan 2017, 14:47

Ôpa! pesadinha . Muito bom . Obrigado
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