Jogos de azar

por **xSoloDrop** Sex 06 Jan 2017, 15:14

Jogos de azar são jogos que, a despeito das habilidades do jogador, dependem preponderadamente de probabilidades matemáticas. Dentre esses jogos, há o famigerado cara ou coroa e o pedra, papel, tesoura.

a) Quando lançada uma vez, uma moeda não justa possui uma probabilidade p de cair cara. Quando lançada duas vezes, a chance de cair uma mesma face nos dois lançamentos é o dobro da chance de cair faces distintas. Tendo em vista esses dados, calcule o maior valor de p.

b) Newton e Leibniz estão jogando um jogo com uma moeda não justa, em que a chance de sair cara é p. Eles jogam alternadamente, com Newton iniciando o jogo. Newton ganha se sair cara, e Leibniz ganha se sair coroa. Sabendo que cada um dos jogadores possui 50% de chance de ganhar o jogo, calcule o valor de p.

c) O famoso jogo do pedra-papel-tesoura possui uma expansão: o pedra-papel-tesoura-lagarto-Spock, que foi mencionado na série The Big Bang Theory. Segundo Sheldon Cooper, tesoura corta papel, papel cobre pedra, pedra esmaga lagarto, lagarto envenena Spock, Spock derrete tesoura, tesoura decapita lagarto, lagarto come papel, papel refuta Spock, Spock vaporiza pedra e pedra quebra tesoura. Se três pessoas jogam esse jogo, qual a probabilidade de um dos jogadores derrotar os outros dois?

por Matemathiago Sex 06 Jan 2017, 19:09

a) Quanto a probabilidade de sair a mesma face:

(cara e cara) ou (coroa e coroa)

p.p + (1-p)(1-p) = p² + 1 - 2p + p² = 2p² - 2p + 1

Quanto a probabilidade de sair faces diferentes:
(cara e coroa) ou (coroa e cara)

p.(1-p) + p(1-p) = p- p² + p - p² = 2p - 2p²

Como a probabilidade de dar faces iguais é o dobro da probabilidade de dar faces diferentes:

2p² - 2p + 1 = 2 (2p - 2p²)
2p² - 2p + 1 = 4p - 4p²
6p² - 6p + 1 = 0

Para que p assuma o maior valor possível:

-b/2a = 6/12 = 50%

por Matemathiago Sex 06 Jan 2017, 19:14

b) A probabilidade de Newton ganhar na primeira rodada é p.

A probabilidade de Leibniz ganhar na primeira rodada alternada é (1-p)(1-p), pois além de Leibniz ganhar, Newton precisa perder na primeira tentativa, ou seja: 1 - 2p + p²

Como as probabilidades devem ser iguais:

1 - 2p + p² = p
p² - 3p + 1 = 0
delta = 5
p = [3 +- raiz de 5]/2

Como p<1:

p = (3 - raiz de 5)/2 ~~ (3 - 2,236)/2 = 0,764/2 ~~ 0,382 ~~ 38,2 %

por Matemathiago Sex 06 Jan 2017, 19:20

c) O primeiro competidor de 5 opções de escolhas, assim como o segundo e o terceiro. Assim, temos um total de 5.5.5 = 125 combinações possíveis.

Se o primeiro candidato escolher pedra (por exemplo), para ele ser o ganhador, cada um dos dois outros competidores tem apenas duas opções de escolha. Ou seja, se o primeiro escolhe pedra, temos 4 possibilidades para haver um vencedor.
Da mesma forma com as outras 5 opções. Temos assim um total de 4.5 = 20 possibilidades de o primeiro ser o vencedor. Como temos as mesmas possibilidades para o segundo e o terceiro serem vencedores, temos um total de 20.3 = 60 possibilidades de um competidor derrotar os outros dois.

Portanto a possibilidade de um jogador derrotar os outros dois é de 60/125 = 12/25 = 48%

por Matemathiago Sex 06 Jan 2017, 19:25

Fiquei um pouco confuso nessas questões (probabilidades sempre me deixam assim), então, posso ter cometido vários equívocos. Corrija-me se necessário, por favor!

por **xSoloDrop** Sáb 07 Jan 2017, 11:03

Belas resoluções! Smile

a) Solução impecável, todavia, o resultado está incorreto...

Partindo de 6p² - 6p + 1 = 0, no momento em que você calcula o X do vértice, você está assumindo que Y ≠ 0, e a equação solicita a abscissa para quando Y = 0.

Assim, por Bháskara, p = (3 + √3)/6 ≈ 78,8%

b) Correto

c) Correto

por Matemathiago Sáb 07 Jan 2017, 11:08

xSoloDrop escreveu:
Belas resoluções!

a) Solução impecável, todavia, o resultado está incorreto...
Partindo de 6p² - 6p + 1 = 0, no momento em que você calcula o X do vértice, você está assumindo que Y ≠ 0, e a equação solicita a abscissa para quando Y = 0.
Assim, por Bháskara, p = (3 + √3)/6 ≈ 78,8%

b) Correto

c) Correto

Obrigado!
Quanto a letra "a", foi uma completa falta de atenção, até porque a expressão dá um mínimo relativo, e não um máximo relativo! Razz