Integral de função trigonométrica

por **Forken** Qui 29 Dez 2016, 20:26

Questão: \int \frac{dx}{tg(x)-1}

Gabarito: \frac{ln\left | tg(x)-1 \right |}{2}-\frac{ln(tg^2(x)+1)}{4}-\frac{x}{2}+c

por **mauk03** Sáb 31 Dez 2016, 11:07

Fazendo $u=\tan x-1$ , tem-se:
$du=\sec ^{2}xdx\Rightarrow dx=\frac{du}{\sec ^{2}x}=\frac{du}{\tan ^{2}x+1}=\frac{du}{(u+1) ^{2}+1}$

Assim:
$\int \frac{1}{\tan x-1}dx=\int \frac{1}{u((u+1) ^{2}+1)}du=\frac{1}{2}\left ( \int \frac{1}{u}du-\int \frac{u+2}{(u+1) ^{2}+1}du \right )$ (*)

Resolvendo a primeira integral de (*):
$\int \frac{1}{u}du=\ln |u|+C=\ln |\tan x-1|+C$

Para a segunda integral de (*) fazemos $s=u+1\therefore ds=du$ , obtendo:
$\int \frac{u+2}{(u+1) ^{2}+1}du=\int \frac{s+1}{s ^{2}+1}ds=\int \frac{s}{s ^{2}+1}ds+\int \frac{1}{s ^{2}+1}ds$ (**)

Para a primeira integral de (**) fazemos $t=s^2\therefore dt=2sds$ , obtendo:
$\int \frac{s}{s ^{2}+1}ds=\int \frac{1}{2(t+1)}dt=\frac{\ln |t+1|}{2}+C=\frac{\ln |\tan ^2x+1|}{2}+C$

Resolvendo a segunda integral de (**):
$\int \frac{1}{s ^{2}+1}ds=\arctan (s)+C=\arctan (\tan x)+C=x+C$

Logo:
$\int \frac{1}{\tan x-1}dx=\frac{1}{2}\left ( \ln |\tan x-1|-\frac{\ln |\tan ^2x+1|}{2}-x \right )+C$

por **Forken** Dom 01 Jan 2017, 06:05

Muitíssimo grato!

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