Linearmente Dependentes

por Nectar Dom 04 Dez 2016, 22:02

Sejam a→+b→+c→ vetores linearmente dependentes. Demonstre que existem escalares x,y e z, não todos nulos, tais que xa→+yb→+zc→=0.

por **Forken** Seg 05 Dez 2016, 00:24

Hipótese: Os vetores \vec{v_{1}},\;\vec{v_{2}},...,,\;\vec{v_{n}} \in V^{3} são LD.

Tese: Pelo menos um dos vetores \vec{v_{1}},\;\vec{v_{2}},...,\;\vec{v_{n}} \in V^{3} é combinação linear dos outros.

Por hipótese os vetores \vec{v_{1}},\;\vec{v_{2}},...,\;\vec{v_{n}} \in V^{3} são LD, então existem escalares \alpha _{1},\;\alpha _{2},...,\;\alpha _{n}\in \mathbb{R}, com pelo menos um não nulo, logo \alpha _{1}\vec{v}_{1},\;\alpha _{2}\vec{v}_{2},...,\;\alpha _{n}\vec{v}_{n}=0

Por suposição \alpha _{1}\neq 0

Isolando o vetor não nulo temos que:
\vec{v}_{1}=\left ( -\frac{\alpha _{2}}{\alpha _{1}} \right )\vec{v}_{2}\;+\left ( -\frac{\alpha _{3}}{\alpha _{1}} \right )\vec{v}_{3}\;+...+\left ( -\frac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}} \right )\vec{v}_{n}\;

Substituindo os respectivos escalares temos que:
\beta _{2}=\left ( -\frac{\alpha_{2}}{\alpha _{1}} \right );\beta _{3}=\left ( -\frac{\alpha_{3}}{\alpha _{1}} \right );...;\beta _{n}=\left ( -\frac{\alpha_{n}}{\alpha _{1}} \right );

Por consequência
\vec{v}_{1}=\beta _{2}\vec{v}_{2}\;+\beta _{3}\vec{v}_{3}\;+...+\beta _{n}\vec{v}_{n}

C.Q.D.

Bons estudos!

por Nectar Seg 05 Dez 2016, 08:15

Mas por que xa→+yb→+zc→=0→? nao teria que os escalares x,y,z tivessem que ser igual a 0?

por **Forken** Seg 05 Dez 2016, 14:02

Observe que está igualado a zero por quê isto é uma equação... Uma equação vetorial.
a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+...+a_{n}\vec{v}_{n}=0

Se a equação possuir apenas solução única ou seja:
a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=0

Os vetores \vec{v}_{1},\;\vec{v}_{2},...,\vec{v}_{n} são linearmente independentes.

O que quero dizer com isto? Que se fôssemos partir do principio que todos escalares são zeros nem fazia sentindo começar a demonstração por quê pela sua conjectura você acabou de me garantir que os vetores são LI.

Bons estudos!