Progressões - Discursiva UFPR

por anero1 Qua 23 Nov 2016, 00:22

No passo 1, metade do quadrado original é preenchido. No passo 2, metade da área não coberta no
passo anterior é preenchida. No passo 3, metade da área não coberta nos passos anteriores é preenchida,
e assim por diante.

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a) No passo 4, que percentual do quadrado original estará preenchido?

b) Qual é o número mínimo de passos necessários para que 99,9% do quadrado original seja preenchido?

Gabarito:

a) 93,75%

b) 99,%

por poisedom Qua 23 Nov 2016, 07:53

a)

\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{8+4+2+1}{16}=\dfrac{15}{16}=0,9375

ou seja

93,75\%

b)

\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+\cdots + \dfrac{1}{2^n}>99\%=0,99=\dfrac{99}{100}

\dfrac{2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\cdots +1}{2^n}>\dfrac{99}{100}
_________________________________________________________________________________________________
observe que

2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\cdots +1

é a soma de uma P.G. de razão 1/2,então

S_n=\dfrac{a_n\cdot q -a_1}{q-1}

2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\cdots +1=\dfrac{1\cdot \frac{1}{2} -2^{n-1}}{\frac{1}{2}-1}

2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\cdots +1=\dfrac{\frac{1}{2} -2^{n-1}}{\frac{1}{2}-1}

2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\cdots +1=\dfrac{\frac{1-2^{n-1}}{2} }{\frac{1-2}{2}}

2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\cdots +1=\dfrac{1-2^{n-1} }{-1}

2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\cdots +1=2^{n-1}-1

_________________________________________________________________________________________________

assim

\dfrac{2^n-1}{2^n}>\dfrac{99}{100}

1-\dfrac{1}{2^n}>\dfrac{99}{100}

1-\dfrac{99}{100}>\dfrac{1}{2^n}

\dfrac{1}{100}>\dfrac{1}{2^n}

2^n>100>64=2^6

n>6

assim o número mínimo de passos necessários para que 99,9% do quadrado original seja preenchido é 7

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