Equação

por anero1 Sáb 12 Nov 2016, 22:45

(FGV-SP)O número de soluções da equação:

1+sen x -2|cos 2x| =0, com 0 <= x <2pi, é:

a) 8
b)7
c)6
d)5
e)4

Gabarito letra A

Como eu sei que propriedade usar? Tem alguma dica?Ou só resolvendo muitos exercícios?

por **Willian Honorio** Dom 13 Nov 2016, 06:37

Observe que há um módulo,então há duas possibilidades a serem analisadas,a positiva e a negativa,farei a primeira e você fará a segunda.

$1+sinx-2\mid cos2x\mid =1\\-2\mid cos2x\mid =-1-sinx\\\therefore \mid cos2x\mid =\frac{1+sinx}{2}$

1 º Possibilidade,cos2x positivo.

$cos^{2}x-sin^{2}x=\frac{1+sinx}{2}\\2cos^{2}x-2sin^{2}x-sinx=1(I)\\sin^{2}x+cos^{2}x=1\therefore 2sin^{2}x+2cos^{2}x=2(II)\\\\\left\{\begin{matrix} 2cos^{2}x-2sin^{2}x-sinx=1 & \\ 2sin^{2}x+2cos^{2}x=2 & \end{matrix}\right.\\\\4sin^{2}x+sinx=0\\\therefore sinx(4sinx+1)=0===>sinx=0\,ou\,sinx=\frac{-1}{4}$

A partir da relação fundamental os dois valores do cosseno são:

$cosx=0\,e\,cosx=+\frac{\sqrt{15}}{4}$

O que garante 4 soluções, para um intervalo entre 0 e 2pi.
Segunda hipótese, cos2x negativo.

$\mid cos2x\mid =\frac{1-sinx}{2}\\cos2x=\frac{sinx-1}{2}$

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