UFU-MG

por João Soares Ter 08 Nov 2016, 09:23

Considere uma parábola e uma reta descritas respectivamente pelas equações y = x² e y = 2x - 3. Dentre todos os segmentos com extremidades na parábola e reta dadas, sendo esses segmentos paralelos ao eixo das ordenadas y, determine o de menor comprimento.

Gabarito: 2

por **Elcioschin** Ter 08 Nov 2016, 10:36

Reta r: y = 2x - 3

Reta s paralela à reta r e tangente à parábola: y = 2.x + k

Ponto P de tangência entre reta s e parábola: x² = 2.x + k ---> x² - 2.x - k = 0

Devemos ter ∆ = 0 ---> (-2)² - 4.a.(-k) = 0 ---> 4 + 4.k = 0 ---> k = - 1

xP = (2 ± 0)/2.1 ---> xP = 1 ---> yP = 1 ---> P(1, 1)

Ponto Q onde a reta x = 1 corta a reta r ---> yQ = 2.1 - 3 ---> yQ = -1 ---> Q(1, -1)

Distância mínima pedida ---> d = yP - yQ ---> d = 1 - (-1) ---> d = 2

por João Soares Ter 08 Nov 2016, 11:42

Obrigado, Elcio. Onde o senhor diz que a reta x=1 corta a reta s, não seria a reta r? E uma dúvida sobre esse tipo de questão: sempre quando eu tiver que encontrar o ponto de intersecção entre dois gráficos, basta eu igualar as duas equações?

por **Elcioschin** Ter 08 Nov 2016, 11:55

1) Seria sim, foi distração minha ao digitar. Vou editar (em vermelho).

2) Para encontrar o ponto de interseção sim: basta igualar as equações dos dois gráficos.

Outra coisa: sempre que a reta for tangente a uma curva, ∆ = 0

Mais outra: o raciocínio acima vale somente quando a distância é paralela ao eixo y.