Pontos notáveis do triângulo

Considere o triângulo isósceles da figura a seguir com lados AB=AC=a, BC=b e altura AH=c. Seja O o circuncentro e I o incentro do triângulo, determine a distância entre O e I em função de a, b e c.


Gabarito : OI = (2ac/2a+b)-(a²/2c)

Agradeço pela resolução do exercícios Medeiros! Já compreendo que o o circuncentro estabelece o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC e o Incentro, o raio da circunferência inscrita. Entretanto, não consegui entender de onde partiu as relações que você estabeleceu entre os segmentos do triângulo.

Não entendi os seguintes passos:
(bc/2)=(a²b/4R) e como perceber que OI=r=bc/(2a+b)

1)
a área do triângulo ABC pode ser calculada por:
(a) S = b*c/2
(b) S = a.b.c/(4R) , onde [a, b, c] são os lados e R o raio da circunferência circunscrita.
Ora, este triângulo tem dois lados a e um lado b, então a fórmula (b) fica
S = a.a.b/(4R) = a².b/(4R)
Como (a)=(b), pois tratamos da mesma área, podemos igualar as duas e obter R em função do restante.

2)  OI=r=bc/(2a+b)  <------ aqui tem um erro meu e vou corrigir na figura acima. Mas o raciocínio está correto e as passagens e contas também. É um "erro de apontamento", eu já tinha terminado e resolvi deixar melhor indicado para facilitar a compreensão mas na pressa fui descuidado.

A área do triângulo também pode ser obtida por
(c) S = p.r , onde p é o semiperímetro e r é o raio da circunferência inscrita.
Para este triângulo,  p = (a+a+b)/2 = (2a+b)/2.
Novamente, (a)=(c) obtemos r em função dos outros parâmetros dados.

Mas r = IH
.:. OI = OH - r ------> OI = c - R - r

As fórmulas citadas em (b) e (c) são encontradas, demonstradas, nos livros de geometria do ensino médio e devem constar do cabedal do estudante.

Agradeço novamente Medeiros! Entendi todos os passos agora! A minha dificuldade residia principalmente em não enxergar os conceitos de área que você utilizou. Ainda não me aprofundei nesse assunto, mas já estarei mais atento em utilizar esses métodos que você demonstrou.

Muito obrigado, Abraço!