AFA 2003 - Função

o conjunto {x pertencente R / f(x)<0} , onde f: R --> R é definida por f(x)= ax² + 2a²x + a³ , com a pertencente aos R_-^* , é

resp.: ]-∞;-a[ u ]-a; +∞[

f(x) = ax² + 2a²x + a³<0 , a<0 pertencente aos reais
a(x²+2ax+a²)<0

Como a<0, devemos ter x²+2ax+a²>0 , cujo gráfico é uma parábola com concavidade para cima. E do qual procuramos a região de imagens positiva, ou seja, a região entre as raízes da função, caso haja duas (vamos tirar a prova).
∆=(2a)²-4.1.a²=4a²-4a²=0, indicando há uma única raiz, que é:
x=-2a/2.1=-a

Portanto, vale ]-∞;-a[ u ]-a; +∞[ para x, que caracteriza os possíveis valores do domínio R para uma região de imagens positivas da parábola, exceto o ponto de abcissa igual a "-a", onde a parábola toca o eixo de abcissas e a imagem f(x) se torna nula, o que não é permitido.

Como ficaria o gráfico dessa função, se o termo independente que corta o eixo y for positivo, a função assumirá f(x)>0, estou certo em pensar isso?

Victor Luz escreveu:Como ficaria o gráfico dessa função, se o termo independente que corta o eixo y for positivo, a função assumirá f(x)>0, estou certo em pensar isso?

Olá, Victor!

Estaria certo, sim. O problema é que isso não pode acontecer.

Podemos ter convicção o suficiente (de que isso não pode acontecer) com base apenas nos argumentos do colega que deu a primeira resposta acima: ficou provado que f(x) é sempre negativa, exceto para x = -a, quando f se torna nula.

Mas é claro que sua dúvida faz sentido, então vou tentar lhe mostrar de maneira um pouco mais direta.

O que se mostrou acima é que a função g, de R em R, definida por

g(x) = \frac{f(x)}{a} = x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2

tem delta = 0, sendo sempre positiva, exceto na raiz x = -a. (Daí se conclui que f é sempre negativa, exceto para x = -a.) Se olharmos para a função original, f,

f(x) = ax^2 + 2a^2x + a^3

veremos que 

\Delta = (2a^2)^2 - 4\cdot a \cdot a^3 = 4a^4 - 4a^4 = 0

e o coeficiente que acompanha x^2 é negativo (a < 0, pelo enunciado). Portanto, o gráfico de f é uma parábola que tangencia o eixo dos x (delta = 0) e tem concavidade voltada para baixo (a < 0). Evidentemente, f nunca é positiva.

Pode-se ver também, com facilidade, que o termo independente (que indica a ordenada do ponto onde a parábola cruza o eixo dos y) é necessariamente negativo (por quê?). Portanto, o cenário que você esboçou não é permitido para esta função.

Espero ter ajudado. Bons estudos! 

Excelente, muito obrigado!