Subconjuntos e Produto Cartesiano - Iezzi

Sejam os conjuntos A, B e C tais que A c B c C. Estabelecer as relações de inclusão entre os conjuntos A x A, A x B, A x C,
B x A, B x B, B x C, C x A, C x B e C x C.

A resposta para esta questão é um pouco longa porque são muitos os conjuntos envolvidos. Porém, toda ela pode ser desencadeada a partir do seguinte lema:
X \subset Y \subset Z \Rightarrow X \times Y \subset X \times Z
Esse enunciado é até bastante intuitivo. Ora, se todo elemento de X x Y é um par ordenado de um elemento de X e um de Y, e todo elemento de Y está em Z, então todo elemento de X x Y está em X x Z. 
Agora vamos demonstrá-lo de forma mais rigorosa:
Seja o par (x,y) \in X \times Y . Por definição, x \in X e y \in Y . Como Y \subset Z , então y \in Y \Rightarrow y \in Z. Portanto, como x \in X e y \in Z , teremos (x,y) \in X \times Z .
Ficou provado que (x,y) \in X \times Y \Rightarrow (x,y) \in X \times Z , o que se resume assim: X \times Y \subset X \times Z. 
Agora, para aplicá-lo à resolução da questão, faça:
X = A, Y = A e Z = B;
X = A, Y = B e Z = C;
X = B, Y = B e Z = C.
Daí surgirão inicialmente três relações de inclusão das quais, por transitividade, decorrem todas as demais.

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