Determine x

O triângulo ABC abaixo é isósceles de base BC. Determine x.

Este é bem difícil. Vou colocar um similar com as seguintes alterações:

 = 20º (ao invés de 40º)
D^BC = 60º (ao invés de 35º)
D^CE = 30º (ao invés de 15º)

Basta substituir valores numéricos e recalcular:

Na figura ABC é isósceles com  = 20º. Calcular o valor do ângulo X .


Façamos BC = m.

No Δ isósceles ABC: ângulo ABC = ângulo ACB = (180º - 20º)/2 = 80º ---> ângulo CBE = 80º

Ângulo DBE + ângulo CBD = ângulo ABC ---> ângulo DBE + 60º = 80º ----> ângulo DBE = 20º

Ângulo ECD + ângulo ECB = ângulo ACB ----> ângulo ECD + 50º = 80º ----> ângulo ECD = 30º

No Δ CBE: ângulo BEC + ângulo BCE + ângulo CBE = 180º ----> ângulo BEC + 50º + 80º = 180º ---->
ângulo BEC = 50º. Logo, o Δ CBE é isósceles (50º, 50º, 80º) e BE = BC = m.

No Δ BDC: ângulo BDC + ângulo DBC + ângulo BCD = 180º ----> ângulo BDC + 60º + 80º = 180º ---->
ângulo BDC = 40º.

Agora é que vem o “pulo do gato”:

Marquemos sobre a reta CD um ponto F tal que: ângulo CBF = 20º e tracemos a reta BF. Tracemos também a reta EF.

No Δ BCF: ângulo CFB + ângulo BCF + ângulo CBF = 180º ----> ângulo CFB + 80º + 20º = 180º ---->
Ângulo CFB = 80º. Logo, o Δ BCF é isósceles (80º, 80º, 20º) e BF = BC = m.

Ângulo DBF + ângulo CBF = ângulo CBD ----> ângulo DBF + 20º = 40º ----> ângulo DBF = 40º.

No Δ BDF: ângulo BDF = ângulo DBF = 40 º ----> Logo, o Δ FBD é isósceles e DF = BF = m.

No Δ BEF: BE = BF = m, logo o triângulo BEF é isósceles. Logo, ângulo BEF = ângulo BFE =
(180º - ângulo EBF)/2 = (180º – 60º)/2 = 60º. Logo o triângulo BEF é equilátero ----> EF = m.

Ângulo BFC + ângulo BFE + ângulo DFE = 180º ----> 80º + 60º + ângulo DFE = 180º ----> ângulo DFE = 40º.

O Δ FDE é isósceles (EF = DF = m) ----> ângulo DEF = ângulo EDF = (180º - ângulo DFE)/2 ---->
ângulo DFE = (180º - 40º)/2 = 70º ---> ângulo EDB + ângulo BDF = ângulo DFE ---> X + 40º = 70º ---> X = 30º.

Também não consegui por geometria, por isso tentei por trigonometria:
1)Por Geometria:

ABC ISOSCELES --> 2 ANGULOS IGUAIS E 1 DIFERENTE
Dado que o angulo BâC = 40º, e como a soma dos angulos internos de um triangulo é 180º;
temos:
40º+2R=180
R = 70º = angulo AcB = angulo AbC


Angulo ABC = 70º;
Angulo ABC = SOMA dos angulos DBC + ABD
Como DBC = 35º,
70 = 35 + ABD
ABD = 35

Angulo ACB = 70º;
Angulo ACB = SOMA dos angulos ACE + ECD
Como ACE = 15º,
70 = 15 + ECD
ECD = 55

(I)
SOMA DOS ANGULOS INTERNOS DE UM TRIANGULO = 180º
Aplicando isso a:

a) Triangulo BCP,
Angulo PBC = 35
Angulo PCB = 55
Angulo BPC = ?

35+55+ P = 180
P=90º
Angulo BPC = 90º

Da propriedade "opostos pelo vértice" --> Angulo BPC = Angulo EPD
O que implica em dizer também que:
Angulo EPB = CPD = 90º


b) Triangulo ABD
Angulo ABD = 35º
Angulo BAD = 40º
Angulo BDA = ?

35+40+D=180
D=105º
Angulo ADB = 105º

Como:
ADE+X=ADB
ADE=105-X

Como o suplementar (soma de dois angulos para completar 180º) do Angulo ADB é o Angulo PDC,
temos que 180 - 105 = 75º = Angulo PDC

c) Triangulo EPB
Angulo ABD = Angulo EBP = 35º
Angulo EPB = 90º
Angulo BEP = ?

35+90+BEP=180
BEP=55º

Como o suplementar (soma de dois angulos para completar 180º) do Angulo BEP é o Angulo PEA,
temos que 180 - 55 = 125º = Angulo PEA


(II)
Angulo PEA = Angulo PED + Angulo DEA
Angulo PED = k
Angulo DEA = y
125=k+y

Triangulo EBD, temos:
Angulo EBD = 35
Angulo EDB = x
Angulo PED = k
Angulo BEP = 55
35 + x + (k+55) = 180

Triangulo EPD, temos:
Angulo EPD = 90º
Angulo EDP = x = Angulo EDB
Angulo PED = k
x+k+90=180
x+k=90
k=90-x

Logo:
k=90-x
y+k=125
y=125-k
y=35+x

ADE+X=105
ADE=105-X

2)Por trigonometria
A partir das informações geométricas, podemos construir a figura, e resolver a questão:

Uma solução por geometria veio-me, ontem, quando tentava dormir.
Como o triangulo CDP e o triangulo DEP tem dois lados iguais, "r" e "w", e possuem um angulo igual 90º,
então caímos no caso de congruência LAL para os triangulos. Desse modo, x=75º.