Problema de reta tangente - Derivadas

Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto (x₁, y1). Faça uma tabela dos valores de x, y e m no intervalo fechado [a,b] e inclua na tabela  todos os pontos onde o gráfico tem uma tangente em cada ponto colocado no gráfico.

y = 1 - x³; [a,b] = [-2,2]



O que eu tentei fazer:

* Inclinação da reta tangente:


f (x₁) = x₁³ + 1


f (x₁ + ∆X) = (x₁ + ∆X)³ + 1
Desenvolvendo temos:
x₁³ + 3.(x₁₎².∆X + 3.x₁.(∆X)² + (∆X)³ + 1



m(x₁) = LIM = f (x₁ + ∆X) - f (x₁) / ∆X
          ∆X → 0

Substituindo: 
= x₁³ + 3.(x₁₎².∆X + 3.x₁.(∆X)² + (∆X)³ + 1  -  x₁³ + 1 / ∆X
= 3.(x₁₎² + 3.x₁.∆X + (∆X)²
Como ∆X → 0, temos:
m(x1) = 3.(x₁₎² 

* Tabela de valores:

 x | y = 1 - x³ |m = y' = 3x²
-2 |       -7     |       12
-1 |        0     |        3
 0 |        1     |        0
 1 |        2     |        3
 2 |        9     |        12

* Como faço para achar os pontos do gráfico onde a tangente é horizontal?

Tentei igualar a derivada de y (y') a zero porém ficou "estranho", ainda não entendi o que é para fazer nessa parte  

y' = 3x²
3x² = 0
x² = ± √3

Para x= √3, temos
y = (√3)³ + 1 = 3.√3 + 1  ∴  (√3, 3√3 + 1)

Para x = -√3, temos
y = (-√3)³ + 1 = -3√3 + 1 ∴  (√3, -3√3 + 1)


* E também, como faço para montar o gráfico dessa equação, por gentileza? rs

Obrigada desde já!

Você cometeu vários erros primários:

y = 1 - x³ ---> Raízes ---> 0 = 1 - x³ ---> x³ = 1 ---> x = 1 (única raiz real)

Com isto você errou na tabela ---> x = 1 ---> y = 0 (e não y = 2)

y' = - 3x² ---> - 3.x² = 0 ---> x = 0 (e não x = √3)

Erros de tabela

.x --- y --- y'
-7 ... 9
-1 ... 2
1 ....  0
2 .... -7

Monte o gráfico colocando os pares (x, y) num plano xOy

Sim, eu cometi vários erros mesmo, tava resolvendo isso já cansada e desesperada 

E tem dois itens seguidos no meu livro: y = x³ + 1 e y = 1 - x³, eu os confundi. Me organizei e consegui resolver, e montei o gráfico conforme me indicou, muito obrigada pela paciência!