Singapura-1988

por Marcos Sex 04 Fev 2011, 13:26

Calcule:

$\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{98\sqrt{99}+99\sqrt{98}}+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}} .$

por **Elcioschin** Sex 04 Fev 2011, 22:00

Vamos por partes, racionalizando:

1/(2 + \/2) = (2 - \/2)/(4 - 2) = 1 - \/2/2

1/(3\/2 + 2\/3) = (3\/2 - 2\/3)/(18 - 12) = \/2/2 - \/3/3

1/(4\/3 + 3\/4) = (4\/3 - 3\/4)/(48 - 36) = \/3/3 - \/4/4

A sequência é óbvia: na soma os termoa vão cancelando:

1/(100*\/99 + 99*\/100) = (100\/99 - 99\/100)/(100²*99 - 99²*100) = 100*\/99/100²*99 - 99*\/100/99²*100 =

100\/11/33 - 1/990

Sobrou apenas:

S = 1 - 1/990 ----> S = 989/990

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