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Mensagem por LARA01 Dom 09 Maio 2021, 07:45

Suponha  que X0, X1, X2,.....é uma sequência de números que satisfaz X0=1000 e Xn=- 1000/n (X0 + X1 + X2 +....+ Xn-1) para  todo n  maior ou igual a 1. Então o valor da expressão: 1/2^2 X0 + 1/2 X1 + X2 + 2X3 + 2^2 X^4 +..... + 2^997 X999 + 2^998 X1000 é igual a:
a)125
b)175
c)225
d)250
e)500
resp:d

LARA01
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(Singapura) Polinômios Empty Re: (Singapura) Polinômios

Mensagem por SilverBladeII Seg 10 Maio 2021, 16:09

Se tiver qqr duvida perguntae

Como nos importamos apenas com [latex]0\leq n \leq 1000[/latex], temos que [latex]1000-n\geq 0[/latex]. 

[latex]\begin{align*}
&x_{n}=-\frac{1000}{n}\sum_{i=0}^{n-1}x_i\\
\implies &nx_n=-1000\sum_{i=0}^{n-1}x_i\\
\implies &nx_n-(n-1)x_{n-1}=-1000\left(\sum_{i=0}^{n-1}x_i-\sum_{i=0}^{n-2}x_i\right)\\
\implies & nx_n-(n-1)x_{n-1}=-1000x_{n-1}\\
\implies & nx_n=-(1000-(n-1))x_{n-1}
\end{align*}[/latex]

Assim
[latex]\begin{array}{rcl}
nx_n&=&-(1000-(n-1))x_{n-1}\\
(n-1)x_{n-1}&=&-(1000-(n-2))x_{n-2}\\
&\vdots&\\
2x_2&=&-(1000-1)x_{1}\\
x_1&=&-(1000-0)x_{0}\\\hline
n!x_n&=&(-1)^{n}\frac{1000!}{(1000-n)!}x_0
\end{array}[/latex]

E então
[latex]x_n=(-1)^n\binom{1000}{n}x_0[/latex]
(a principio, esse resultado vale para n>0, mas é facil verificar que n=0 também satisfaz o resultado).

Assim, 

[latex]\begin{align*}
\sum_{n=0}^{1000}\frac{1}{2^2}\cdot 2^{n} \cdot x_n & = \frac{1}{4}\sum_{n=0}^{1000}2^n\cdot(-1)^n\binom{1000}{n}x_0\\
&=\frac{x_0}{4}\sum_{n=0}^{1000}\binom{1000}{n}(-2)^{n}\\
&= \frac{x_0}{4}\cdot (1-2)^{1000}\\
&=\frac{x_0}{4}\\
&=250
\end{align*}[/latex]
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