(UnB) Avião

por ALDRIN Qua 02 Fev 2011, 11:38

Um avião encontra-se a uma altitude de $1.000\ m$ e voa para oeste, a uma velocidade de $200\ m/s$ . No chão, encontra-se um holofote direcionado para o avião e posicionado a $x\ m$ . Conforme a figura acima. Considerando que a luz do holofote deve ser mantida no avião e observando que $x\ e\ \theta$ são funções do tempo $t$ , julgue os itens de (1) a (5).

(1) A distância, em $m$ , do holofote ao ponto $P$ é expressa por $x(t)=\frac{1.000}{sec \theta (t)}$ .

(2) Se, para algum instante $t$ o ângulo $\theta$ é igual a $\pi/4$ radianos, então a distância $x$ é igual a $1.000\ m$ .

(3) Quando a distância $x$ for igual a $500\ m$ , o comprimento do facho de luz será maior que $1.000\ m$ .

(4) No instante em que a distância $FA$ for igual a $2x$ , a inclinação $\theta$ será menor que $45^\circ$ .

(5) A velocidade com que o holofote gira para acompanhar o avião é dado por $\frac{d \theta}{dt}=\frac{-1.000}{x^2sec^2 \theta (t)} . \frac{dx}{dt}$ .

Spoiler:

por **Euclides** Qua 02 Fev 2011, 15:06

(1) a figura indica que a relação está estabelecida pela tangente

$x(t)=\frac{1000}{tan\theta(t)}\,\,\,\to\,\,\,tan\theta(t)=1000.x(t)^{-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\fbox{1}$

(2) geometria simples. Para ângulo=45º x=1000

(3) quando x=500 tan0=2 logo $\dpi{100} tan\theta> 1\Rightarrow \theta> 45^o$

(4) quando FA=2x

$cos\theta=\frac{x}{2x}\rightarrow \theta=60^o$

(5) retomando a expresssão (1)

$\\tan\theta(t)=1000.x(t)^{-1}\\\\\frac{d}{dt}\left (tan\theta(t) \right )=\frac{d}{dt}\left (1000.x(t)^{-1} \right )\\\\\frac{d\theta}{dt}\cdot sec^2\theta=-\frac{1000}{x^2}\frac{dx}{dt}\,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\,\frac{d\theta}{dt}=-\frac{1000}{x^2sec^2\theta}\cdot \frac{dx}{dt}$

por ALDRIN Qua 02 Fev 2011, 19:08

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