Ângulo excentrico exterior

(FGV) Por um ponto P externo a um círculo, são traçadas as duas tangentes ao círculo. Os pontos de tangencia, Q e R, dividem o círculo em dois arcos cujos comprimentos estão na razão 3/7 . A medida do ângulo QPR, em graus, é:

(A) 72.
(B) 90.
(C) 108.
(D) 126.
(E) 144.



Uma explicação sobre essa questão..

Sendo x e y as medidas dos ângulos correspondentes aos arcos formados pelos pontos de tangência das retas tangentes à circunferência, tem-se:

x + y = 2π
x/y = 3/7

x = 3π/5, y = 7π/5

A medida do ângulo central que corresponde ao menor arco formado pelos pontos de tangência das retas tangentes à circunferência, portanto, é 3π/5. Traçando o triângulo OQR (onde O é o centro da circunferência) nota-se que: ele é isósceles, que a medida de um de seus ângulos é o ângulo central anteriormente citado, e que seus outros dois ângulos possuem, portanto, medida (π - 3π/5)/2 =  π/5. Como as retas OQ e OR são perpendiculares às retas tangentes, o triângulo PQR (também isósceles, pela propriedade das retas tangentes à circunferência) possui dois ângulos de medida (π/2) - (π/5) = 3π/10, tendo o seu outro ângulo (QPR, o que foi requisitado no enunciado) medida π - 6π/10 = 2π/5 (72°).

Obrigado Christian!

Compreendi o seu raciocínio até essa parte (possui dois ângulos de medida (π/2) - (π/5) = 3π/10). Poderia me explicar de onde veio essas medidas?

Agora entendi
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x+y=2pi
x/y=3/7

Resolvendo o sistema:

x=3pi/5 e y=7pi/5

∝=(y-x)/2
∝=(7pi/5 - 3pi/5)/2
∝=4pi/5

pi ----- 180°
4pi/5 -- ∝

∝pi=360°pi/5
∝=72°

LETRA A

Obrigado!