teorema do confronto

por leticialinda1234 Dom 01 maio 2016, 20:15

Calcule,caso exista, lim f(x)-f(0)/x-0
x->0

quando f é dada por:

a)f(x)= x²sen1/x ,se x diferente de zero
f(x)=0 se x=0

resp lim=0

por **Jader** Qua 04 maio 2016, 14:43

Temos que a função seno é limitada, então temos o seguinte:

$\\-1<sen\left ( \frac{1}{x} \right )<1\\\\x^{2}*(-1)<x^{2}*sen\left ( \frac{1}{x} \right )<x^{2}*1\\\\-x^{2}<x^{2}sen\left ( \frac{1}{x} \right )<x^{2}\\\\\therefore \lim_{x\rightarrow 0}-x^{2}<\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}sen\left ( \frac{1}{x} \right )<\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}$

Assim, temos que:

$\lim_{x\rightarrow 0}-x^{2}=\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}=0$

Então pelo teorema do confronto concluímos que

$\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}sen\left ( \frac{1}{x} \right )=0$

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