Resolução Integral por Parte

por bruno.tavares Qui 07 Abr 2016, 15:25

Boa Tarde Pessoal, alguém por favor poderia me ajudar com está integral?

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x}*Log(x)*Cos(x) dx$

Agradeço desde já, pois estou me enrolando com a integral por parte.

por **laurorio** Qui 07 Abr 2016, 16:08

É 1/x mesmo?

por bruno.tavares Qui 07 Abr 2016, 16:13

Sim,Já tentei resolver de todo jeito mais não consigo. Só sei que a resposta da 0,158.

por **laurorio** Qui 07 Abr 2016, 16:27

Não tem como aplicar integração por partes nessa integral. Se eu chamar lnx de u e cosxdx de dv vai sobrar o (1/x), o que contraria o teorema. Acredito que no lugar do x seja alguma constante.

por bruno.tavares Qui 07 Abr 2016, 16:56

É 1/x mesmo, pois estou estudando uma matéria chamada regra de Simpson, onde eu consigo o valor da integral sem fazer a integração,e logo após para saber o erro tenho que resolver a integral, através da regra citada o valor deu 0.151, eu sei que a integral da 0.158 mas não consigo chegar nessa valor integrando. Já tentei de todo jeito.

por **Carlos Adir** Qui 07 Abr 2016, 21:44

Consegui usando séries:
$\\ \mathrm{\dfrac{cos \ x}{x} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{2 !}+\dfrac{x^3}{4!}-\dfrac{x^5}{6!}+\cdots} \\ \mathrm{\dfrac{cos \ x}{x} \cdot \ln x = \dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{x\cdot \ln x}{2!}+\dfrac{x^3 \cdot \ln x}{4!} - \cdots} \\ \mathrm{\int \dfrac{cos \ x \cdot \ln x}{x} dx= \int \left(\dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{x\cdot \ln x}{2!}+\dfrac{x^3 \cdot \ln x}{4!} - \cdots \right) \ dx}$
Agora, sabendo a integral:
$\\ \mathrm{\int \dfrac{\ln x}{x} \ dx = ln^2 \ x + c_0} \\ \mathrm{\int \dfrac{x \cdot \ln x}{2!} dx= \dfrac{1}{2!} \left(\dfrac{x^2}{2} \cdot \ln x - \dfrac{x^2}{2^2} \right )+c_1} \\ \mathrm{\int \dfrac{x^3 \cdot \ln x}{4!}dx=\dfrac{1}{4!}\left(\dfrac{x^4}{4}\cdot \ln x - \dfrac{x^4}{4^2} \right )} \\ \mathrm{\int \dfrac{x^5 \cdot \ln x}{6!}dx = \dfrac{1}{6!}\left(\dfrac{x^6}{6}\cdot \ln x - \dfrac{x^6}{6^2} \right )} \\ \cdots$
Obtemos que:
$\\ \mathrm{\int \dfrac{cos \ x}{x} \cdot \ln x dx=\dfrac{ln^2 x}{2} - \dfrac{x^2}{2 \cdot 2!}\left(\ln x-\dfrac{1}{2} \right )+\dfrac{x^4}{4 \cdot 4!}\left(\ln x - \dfrac{1}{4} \right )- \cdots} \\ \mathrm{ = \dfrac{\ln^2 x}{2} + \dfrac{\ln x}{2} \cdot \left(\dfrac{-x^2}{1 \cdot 2!} + \dfrac{x^4}{2 \cdot 4!} - \dfrac{x^6}{3 \cdot 6!} + \cdots \right ) + \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{-x^2}{1^2 \cdot 2!}+\dfrac{x^4}{2^2 \cdot 4!} - \dfrac{x^6}{3^2 \cdot 6!} + \cdots\right )}$

Agora o ruim é calcular o valor dessa integral... Mas acho que através de calculo sem séries fica bem complicado.
Talvez haja maneira se prosseguirmos:
$\\ P = \int \underbrace{cos \ x}_{u} \cdot \underbrace{\dfrac{\ln x}{x} dx}_{dv}=cos \ x \cdot \dfrac{\ln^2 x}{2} + \dfrac{1}{2}\int ln^2 \ x \cdot sen \ x \ dx$
A questão é que podemos tratar uma função como (ln x)/x como uma função só, há possibilidade.