Integral 1ª parte

por **alansilva** Qua 24 Fev 2016, 20:25

Sendo $Integral 1ª parte Gif$ , com $Integral 1ª parte Gif$ , calcule $Integral 1ª parte Gif$

por **gabrieldpb** Sáb 27 Fev 2016, 00:54

Seja F(x)=\int_{0}^{x}\frac{t^2-1}{t^2+1}dt

G(x)=\int_{0}^x[1+\cos^8{(1+t^7)}]dt

Queremos f(x)=F[g(x)]

sendo g(x)=G(\sin{(x)})

Pela regra da cadeia: f'(x)=g'(x)F'[g(x)] e

g'(x)=\cos{(x)}G'(\sin{(x)})

Só que pela teorema fundamental do cálculo:
F'(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}

G'(x)=1+\cos^8{(1+x^7)}

Então: f'(\pi)=g'(\pi)F'[g(\pi)]

e g'(x)=\cos{(x)}[1+\cos^8{(1+\sin^7{x})}]

Só que g(\pi)=\int_{0}^{\sin{(\pi)}}[1+\cos^8{(1+t^7)}]dt=\int_{0}^{0}[1+\cos^8{(1+t^7)}]dt=0

Logo:

f'(\pi)=\left \{ \cos{(\pi)}[1+\cos^8({1+\sin^7{\pi})}] \right \}\cdot \frac{0-1}{0+1}=1+\cos^8{(1)}

Abraço!

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