Pássaro que voa no plano xy

por **Pietro di Bernadone** Seg 04 Abr 2016, 15:10

Considere um pássaro voando no plano XY com vetor velocidade dado por $v=(\alpha -\beta t^2)+\gamma t$ , sendo $\alpha =3,0\,m/s$ , $\beta =2,0\,m/s^3$ e $\gamma =4,0\,m/s^2$ . O sentido do eixo vertical Oy (de baixo para cima) deve ser considerado positivo. Considere ainda que no instante inicial t = 0 o objeto em questão encontra-se na origem, responda o que se pede:

a) O vetor posição do objeto em função do tempo.

Pensei em resolver a integral $\int (\alpha -\beta t^2)+\gamma t\,dt$ dado que a posição é encontrada pela integral da velocidade.

b) O vetor aceleração do objeto em função do tempo.

Pensei em derivar a função velocidade dada no enunciado da questão, dado que a aceleração é obtida pela derivada primeira da velocidade.

c) A posição do objeto no instante t = 3s e sua orientação.

Pela fórmula encontrada no item "a" deste exercício pensei em substituir o valor de t por 3. E a orientação como faço?

d) A altura do pássaro quando (coordenada y) o pássaro voa sobre o ponto x = 0 depois de t = 0s?

Essa eu não sei como resolver. Alguém me explica por gentileza?

por **Euclides** Seg 04 Abr 2016, 15:50

Pietro, verifique se:

1. a velocidade não será dada por: v=(\alpha -\beta t^2)\vec{i}+\gamma t\vec{j}

para que se tenha noção de velocidade e posição.

por **Pietro di Bernadone** Seg 04 Abr 2016, 17:57

Euclides, transcrevi o enunciado na íntegra. Mas, acredito que, por se tratar, de um vetor a sua representação está correta.

Agradeço

por **Euclides** Seg 04 Abr 2016, 18:36

Vamos admitir que a representação seja

$\\v(t)=(3-2t^2)\vec{i}+4t\vec{j}\\\\S(t)=\int v(t)dt\;\to\;S(t)=\left (3t-\frac{2t^3}{3} \right) \vec{i}-2t^2\vec{j}\\\\a(t)=\frac{dv}{dt}\;\to\;a(t)=-4t\vec{i}+4\\\\\\S(3)=\left (9-\frac{2.3^3}{3} \right) \vec{i}-2.3^2\vec{j} \;\to\;S(3)=3\vec{i-18\vec{j}}\\\\\tan\theta=\frac{-18}{3}\;\;\to\;\;\theta=\arctan(-6)$

d) A altura do pássaro quando (coordenada y) o pássaro voa sobre o ponto x = 0 depois de t = 0s?

segunda passagem por x=0

$\\S(t)=\left (3t-\frac{2t^3}{3} \right) \vec{i}-2t^2\vec{j}\\\\\\3t-\frac{2t^3}{3}=0\;\;\to\;\;t^2=\frac{9}{2}$

$\\y(t)=-2t^2\\\\y(t)=-2\times\frac{9}{2}\;\;\to\;\;y=-9\;m$