MHS - elongação quando Ec = 2Epe

por yuri2 Dom 02 Jan 2011, 19:26

(ITA) Uma partícula de massa m realiza um movimento harmônico simples de amplitude A, em torno da posição de equilíbrio O. Considerando nula a energia potencial para a partícula em O, calcular a elongação para a qual a energia cinética é igual ao dobro da energia potencial.
R: ± A/√3

Eu gostaria de saber porque quando eu faço a questão usando Ec=2Epe não da certo, ou eu teria que aplicar alguma propriedade trigonométrica.

x = Acos(ωt)
v = - ωAsen(ωt)

mv² = 2 kx²

mω²A²sen²(ωt) = 2kA²cos²(ωt)
tang²(ωt) = 2k/mω²

k = mω²
ω² = k/m

tang²(ωt) = 2
tang(ωt) = √2

ai eu paro. Quais artificios trigonométricos eu posso usar ai ?

Eu sei também que dar para sair assim
Energia mecânica onde x = A é igual a energia mecânica onde ele pede (Ec = 2Ep)
Ema = Emb
Ec' + Ep' = Ec + Ep
Ep' = 2Ep + Ep
Ep' = 3Ep

kA² = 3 kx²
x² =A²/3
x = ± A/√3

Obrigado!

por **Euclides** Dom 02 Jan 2011, 19:37

Neste exercício esta é a melhor solução

Eu sei também que dar para sair assim
Energia mecânica onde x = A é igual a energia mecânica onde ele pede (Ec = 2Ep)
Ema = Emb
Ec' + Ep' = Ec + Ep
Ep' = 2Ep + Ep
Ep' = 3Ep

kA² = 3 kx²
x² =A²/3
x = ± A/√3

No outro caso vamos precisar da calculadora

tang²(ωt) = 2
tang(ωt) = √2

$\omega t=54,74^o\,\,\,\to\,\,\,cos(\omega t)=0,58\to\frac{\sqrt{3}}{3}$

por yuri2 Dom 02 Jan 2011, 20:01

é, precisa-se da calculadora ali. Mas da para usar algum artificio de simplificação trigonométrica ?

por **Euclides** Dom 02 Jan 2011, 21:09

Tem sim

$\\tan(\omega t)=\sqrt{2}\,\,\to\,\,\frac{\sqrt{1-cos^2(\omega t)}}{cos(\omega t)}=\sqrt{2}\\\\\frac{1-cos^2(\omega t)}{cos^2(\omega t)}=2\,\,\to\,\,3cos^2{(\omega t)}=1\,\,\to\,\,cos(\omega t)=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

por yuri2 Dom 02 Jan 2011, 23:49

Poxa, muito bom ! Obrigado!

por mfukuwara1 Sex 15 maio 2015, 12:50

No ponto onde X = A, isto é, no ponto extremo do movimento, a EP = Em e a Ec é igual a zero.
Em' = Ep

Para um valor de X onde Ec = 2Ep
Em = Ec + Ep → Em = 2Ep + Ep → Em = 3Ep

Em = Em'

3((k.x^2)/2) = ((k.A^2)/2
X = +/- (a/raiz(3)) → o sinal de +/- significa que a partícula pode tanto estar a direita ou a esquerda do ponto O

por Hayzel Sh Ter 31 Out 2017, 13:21

Estou fazendo assim, alguém me ajuda a continuar?

A energia cinética é o dobro da potencial:

(m.v^2)/2 = (2k.x^2)/2

Isolando o x, temos: x = [raiz(m/k)]*[(raiz2)/2]*v [1]

Como 2pi.[raiz(m/k)] = t, passei o t dividindo e cheguei em [raiz(m/k)]*w = 1

Como w = v/R, [raiz(m/k)]*v/R = 1, então,

v = R.[raiz(k/m)] [2] em [1]

Substituindo [2] em [1], chego em x = R[(raiz2)/2]

Como eu relaciono trigonometricamente o raio R com a amplitude A pra chegar no gabarito?

por Convidado Ter 31 Out 2017, 14:12

Hayzel Sh escreveu:Estou fazendo assim, alguém me ajuda a continuar?

A energia cinética é o dobro da potencial:

(m.v^2)/2 = (2k.x^2)/2

Isolando o x, temos: x = [raiz(m/k)]*[(raiz2)/2]*v [1]

Como 2pi.[raiz(m/k)] = t, passei o t dividindo e cheguei em [raiz(m/k)]*w = 1

Como w = v/R, [raiz(m/k)]*v/R = 1, então,

v = R.[raiz(k/m)] [2] em [1]

Substituindo [2] em [1], chego em x = R[(raiz2)/2]

Como eu relaciono trigonometricamente o raio R com a amplitude A pra chegar no gabarito?

O v de "Como w = v/R, [raiz(m/k)]*v/R = " d seria a VELOCIDADE TANGENCIAL caso a partícula se mova num movimento circular, no qual a sua projeção num eixo que passe pelo seu centro fosse um MHS. Acredito que seja isso. Caso você faça v=-Vt.sin(teta) e substituir as suas contas, verá que dará certo. Porém, deverá achar o argumento.
Aliás, deveria ter feito x =+- [raiz(m/k)]*[(raiz2)/2]*v [1]