MHS - elongação quando Ec = Epe

por yuri2 Sáb 01 Jan 2011, 20:17

Um corpo de massa m, preso a uma mola de costante elástica K, executa um MHS ao longo de um eixo horizontal Ox. As elongações do corpo variam de x = -A até x = A. Determine a elongação quando a energia cinética do bloco iguala-se à energia potencial elástica.

R = A/(2)^1/2
não consegui chegar a este resultado, agradeço a quem postar umas maneiras de alcança-lo Smile

por **Euclides** Sáb 01 Jan 2011, 21:35

$\\\begin{cases}x=Acos(\omega t)\\v=-A\omega sen(\omega t) \end{cases}\,\,\,\to\,\,\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kx^2\,\,\to\,\,mv^2=kx^2\\\\\\mA^2\omega^2sen^2(\omega t)=kA^2cos^2(\omega t)\,\,\,\to\,\,\,tan^2(\omega t)=\frac{1}{\omega^2}\cdot\frac{k}{m}\,\,\,\,\fbox{1}\\\\\\\omega=2\pi f,\,\,\fbox{2}\hspace{30}f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\,\,\to\,2\pi f=\sqrt{\frac{k}{m}}\,\,\,\fbox{3}$

substituindo (2) e (3) em (1)

$\\tan^2(\omega t)=\frac{1}{(2\pi f)^2}\cdot\(2\pi f)^2\,\,\,\to\,\,\,tan^2(\omega t)=1\,\,\to\,\,\omega t=\pm45^o$

voltando na equação da elongação com o valor de $cos(\omega t)$

$x=Acos(\omega t)\,\,\,\to\,\,\,x=A.\frac{\sqrt{2}}{2}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x=\frac{A}{\sqrt{2}}$

determinamos aqui uma elongação positiva, mas a simétrica também tem a mesma propriedade. Uma resposta completa será

$x=\frac{A}{\sqrt{2}}\,\,\,\,ou\,\,\,\,x=-\frac{A}{\sqrt{2}}$