Mola e bloco

Fixa-se, por uma das extremidades, uma mola helicoidal, de constante elástica k, de tal forma que a outra extremidade fique na posição x = 0, conforme a figura. Prende-se nessa extremidade um bloco de massa m, que distende a mola e oscila com movimento harmônico simples, sendo a velocidade nula em x = a. Considere as afirmativas: 
I – A aceleração do bloco é nula em x = 0.
II – A máxima energia cinética é  k*a²/2
III – A máxima velocidade ocorre x=mg/k

A(s) afirmativa(s) correta(s) é(são):
a) III 
b) I 
c) II 
d) I, II e III 
e) II e III 
 Gabarito:"A"

I. Falsa. A aceleração nula é tida quando as forças atuantes no bloco se anulam (força resultante igual a zero), ou seja, quando x = mg/k.
II. Não sei também. Alguém pode ajudar?
III. Verdadeira. A velocidade é máxima quando a força resultante é nula, e nesse caso tem-se x = mg/k.

Pense assim: A mola não alongada tem sua extremidade livre em X=0, quando adicionamos um corpo em sua extremidade livre a posição de equilíbrio do sistema é X=Mg/K. Para fazer o sistema oscilar em MHS, puxaremos o corpo para baixo na posição x=a. A energia mecânica do sistema nesse ponto é:

Emec= Epot + Ecin
Emec= K.(a-x)²/2 + 0
Emec=K. (a-x)²/2

Ao soltarmos o corpo, a energia potencial do sistema irá diminuir, enquanto a energia cinética irá aumentar até chegar na posição de equilíbrio onde a energia potencial é nula e a cinética é máxima e vale
K.(a-x)²/2= Epot +  Ecin
K.(a-x)²/2= 0 + Ecin
K.(a-x)²/2=Ecinmax

Veja que o sistema é conservativo, por isso a energia mecânica se conserva e assim eu posso fazer essa igualdade.

Só fazendo algumas considerações e adicionando algumas coisas que o Christian e o Lucasmed falaram:

I) A aceleração é nula quando a força resultante é nula, pela 2ª Lei de Newton. Pelo eixo que o enunciado nos deu, quando a massa está na coordenada x, teremos pela lei de Newton:

ma=-kx+mg

Se a=0, então x=\frac{mg}{k}

Logo a afirmativa I é falsa.

b) Lucasmed, não se esqueça que nesse sistema a energia potencial de gravidade também deve ser contabilizada:

E_{mec}=E_{pot}+E_{cin}

Vamos colocar nosso referencial horizontal no ponto x=0:

E_{mec}=-mgx+\frac{kx^2}{2}+\frac{mv^2}{2}

para x=a, v=0:

E_{mec}=-mga+\frac{ka^2}{2}

Veja o termo quadrático: -mgx+\frac{kx^2}{2}

Se ele é mínimo, mv²/2 será máximo.  Isso acontece quando x=mg/k.

Logo -mga+\frac{ka^2}{2}=E_{cin\;max}-mg\frac{mg}{k}+\frac{k}{2}\frac{m^2g^2}{k^2}

E_{cin\;max}=-mga+\frac{ka^2}{2}+\frac{m^2g^2}{2k}

E_{cin\;max}=\frac{(mg-ka)^2}{2k}=\frac{k}{2}(\frac{mg}{k}-a)^2

É o resultado que o Lucasmed postou, mas eu acho importante considerar -mgx e etc.

Afirmativa falsa.

c) Resultado encontrado em (b). Verdadeiro.

Abraço!

Tinha me esquecido de contabilizar a energia potencial gravitacional de tanto resolver sistemas massa-mola na horizontal.

Tudo bem. Você fez uma analogia ao MHS com bloco na horizontal. Você achou o ponto de equilíbrio e transferiu o x=0 para ele, daí é como se a gravidade não existisse, pois -mg é fixa o tempo todo. Abraço!

Entendi. Obrigado!

Valeu, galera.

Peço perdão, ainda não conseguir entender a II :scratch:. Poderia explicar de outra forma?

Adote o plano horizontal de referência para a energia potencial gravitacional do sistema como x = 0, OK? Assim, em -a, se tem que a EPG desse sistema será -mga, já que ele está abaixo do PHR, e que a energia cinética será 0, já que em x = a tem-se v = 0. Enfim, para x = a, portanto:

Em = ka²/2 - mga   (I)

Essa é a energia mecânica do sistema: ela se mantém igual SEMPRE, já que ele é conservativo.

A energia cinética máxima será tida quando x = mg/k, já que é nessa distensão que a força elástica é mínima. Vamos encontrar, portanto, uma equação para a energia mecânica nessa distensão (equação que terá valor igual à equação encontrada anteriormente, já que ambas se referem à energia mecânica e, como afirmado, essa se conserva nesse sistema):

Em = Ecmáx - mgx + kx²/2
Em = Ecmáx - mg(mg/k) + k(mg/k)²/2    (II)

Agora basta igualar as equações para a energia mecânica encontradas, de forma a obtermos qual será o valor da energia cinética máxima:

ka²/2 - mga = Ecmáx - mg(mg/k) + k(mg/k)²/2     (I) em (II)
Ecmáx = ka²/2 - mga + mg(mg/k) - k(mg/k)²/2
Ecmáx = ka²/2 - mga + m²g²/k - km²g²/2k²
Ecmáx = ka²/2 - mga + [2(mg)² - (mg)²]/2k
Ecmáx = ka²/2 - mga + (mg)²/2k
Ecmáx = [(ka)² - 2mgka + (mg)²]/2k
Ecmáx = (ka - mg)²/2k
Ecmáx = {(ka - mg)/[(sqrt(2k)]}²
Ecmáx = {[sqrt(2k)/(2k)](ka - mg)}²
Ecmáx = {sqrt(2k)[(ka/2k) - (mg/2k)]}²
Ecmáx = {sqrt(2k)[(a/2) - (mg/2k)]}²
Ecmáx = {[sqrt(2k)/2][a - (mg/k)]}²
Ecmáx = (2k/4)[a - (mg/k)]²
Ecmáx = (k/2)[a - (mg/k)]²

Como mg/k = x:

Ecmáx = k(a-x)²/2


PS: tentei detalhar bem o desenvolvimento; espero que ajude em algo.