[OSCILAÇÕES]

Um pêndulo é formado pendurando-se um disco sólido uniforme, de raio R e massa M, mantido no plano vertical por um eixo preso a uma distância x do centro do disco. Desloca-se o disco de um pequeno ângulo e, em seguida, ele é liberado. O momento de inércia do disco em relação a um eixo que passa pelo seu centro geométrico é Icm =MR²/2.

(a) Determine o período de oscilação do movimento harmônico resultante (em termos de R e x).
(b) Sendo R = (9,8 / sqrt 2), M = 1kg, determine o menor período de oscilação possível. 
(c) Se x for escolhido de modo a minimizar o período e M for aumentada, o período aumenta, diminui ou permanece o mesmo?

Observe a figura:



a) Devemos encontrar qual o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao desenho que passa por A. Para isso, utilizaremos o teorema de Steiner:

I=I_{cm}+Mx^2

I=\frac{MR^2}{2}+Mx^2=\frac{(R^2+2x^2)M}{2}

Vamos determinar o torque resultante em A:

I\alpha = -Px\sin{\theta}

\frac{(R^2+2x^2)M}{2} \alpha= -Mgx\sin{\theta}

Porém, \alpha=\ddot{\theta} e como o ângulo de oscilação é pequeno, consideremos que \sin{\theta}\approx \theta:

\ddot{\theta}+\frac{2gx}{(R^2+2x^2)}\theta=0

Que lembra a equação do oscilador harmônico:

\ddot{y}+\omega^2y=0

Logo, \omega^2=\frac{2gx}{(R^2+2x^2)}

O período é dado por T=\frac{2\pi}{\omega}

Portanto, T=2\pi \sqrt{\frac{(R^2+2x^2)}{2gx}}

b) O menor período será dado quando a derivada de T² em relação a x é nula, pois se T² é mínimo, T também o será:

\frac{dT^2}{dx}=4\pi^2 \frac{4x(2gx)-2g(R^2+2x^2)}{4g^2x^2}=0

2\pi^2 \frac{2x^2-R^2}{gx^2}=0

Logo, quando x=\frac{R}{\sqrt{2}} T é mínimo. Substituindo em T:

T_{min}=2\pi \sqrt{\frac{R^2+2(\frac{R}{\sqrt{2}})^2}{2g\frac{R}{\sqrt{2}}}}

T_{min}=2\pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}R}{g}}

Substituindo R:

T_{min}=2\pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{g}\frac{9.8}{\sqrt{2}}}=2\pi

Uma vez que g=9.8 m/s²: T_{min}=2\pi

c) T não é função de M, logo podemos variar de qualquer forma a massa do disco, que T permanecerá o mesmo. 


Abraço!

Gabriel, muito obrigado mesmo.
Abraço!