Achar menor caminho

por **Adam Zunoeta** Seg 13 Dez 2010, 16:23

Elementos da Matemática do Rufino
Dois pontos A e B, que distam entre si 10 cm, encontram-se em um mesmo semiplano determinado por uma reta r. Sabendo que A e B distam 2cm e 8 cm, respectivamente, de r, determine a medida, em centímetros, do menor caminho para ir-se de A para B passando por r.

Resposta:
Achar menor caminho Eqn5060

por **Elcioschin** Seg 13 Dez 2010, 16:57

Faça um bom desenho, por exemplo num diagrama xOy com a reta r no eixo X, A(0, 2) ; B(8, 8 )

Desenhe agora o ponto B' (8, -8 ) simétrico ao ponto B em relação ao eixo X (ou reta r)

Una A com B' por uma uma reta pontilhada e seja P o ponto de encontro da reta AB' com o eixo X

Desenhe agora, com linha cheia os segmentos de reta AP e PB

APB é o caminho procurado.
Supondo o eixo X um espelho, APB é o caminho que a luz seguiria para sair de A e chegar em B (ou vice-cersa), refletindo-se no espelho. E como a luz tem velocidade máxima, o caminho APB é mínimo.

Seja C(8, 2) o pé da perpendicular de A sobre BB' ---> BC = yB - yC ---> BC = 10 - 2 ---> BC = 8

AC² = AB²- BC² ---> AC² = 10² - 6² ---> AC = 8

B'C = yC - yB`---> B'C = 2 - ( - 8 ) ---> B'C = 10

Note agora que PB = PB', logo APB = APB'

APB'² = B'C² + AC² ----> APB'² = 10² + 8² ----> APB' = 2*\/41

por **Adam Zunoeta** Seg 13 Dez 2010, 18:14

A questão era de um amigo, segundo ele o enunciado está correto.

por **Medeiros** Ter 14 Dez 2010, 03:13

também considero correto o raciocínio que faz a analogia do espelho.

A' é a imagem de A, no "espelho" r

triângulo ABD -----> 10² = 6² + AD² -----> AD = 8 ----> A'C = 8

Por simetria, APB tem mesma medida que A'PB ----> APB = A'B

triângulo A'CB -----> A'B² = 10² + 8² -----> A'B = sqrt(164) -----> A'B = sqrt(2²*41)

portanto, caminho mais curto: APB = 2sqrt(41)