Função 6

Considere as funções reais f e g, tais que

f(x)=ax²+bx+c , a≠0, tem apenas uma raiz real, seu grafico tem por eixo de simetria a reta x=1 e passa pelo ponto (2,1).


g(x)=mx+n e g(f(x))=-x²+2x


Nessas condições, pode-se afirmar 


01) g^-1(x)=g(x)


02) A equação f(|x|)=0 tem 4 raizes distintas


03) O conjunto solução da inequação f(x)-|g(x)| >= 0 é (-oo,0] U [2,oo)


04) A função r(x)=f(g(x)) é crescente para x <= 0

Imagino que haja algum erro no enunciado:

f(x) = a.x² + b.x + c ---> xV = 1 ---> f(2) = 1 ---> b² = 4ac (raiz dupla)

xV = - b/2.a ---> - b/2.a = 1 ---> b = - 2.a ---> I

b² = 4.a.c ---> (-2a)² = 4.a.c ---> 4.a² = 4.a.c ---> c = a ---> II

1 = a.2² + b.2 + c ---> 1 = 4.a + (-2.a).2 + a ---> a = 1 --> b = - 2 ---> c = 1

f(x) = x² - 2.x + 1 ---> f(x) = (x - 1)²


g(x) = m.x + n

g[f(x)] = g(x² - 2.x + 1) ---> g[f(x)] = m.(x² - 2.x + 1) + n ---> g[f(x)] = m.x² - 2.m.x + (m + n)

g[f(x)] = - x² + x ---> m.x² - 2.m.x + (m + n) = - x² + x ---> comparando termo a termo:

m = - 1
- 2.m = 1 ---> m = - 1/2

Impossível termos m com dois valores diferentes ---> Deve haver erro no enunciado