(Unesp) MHS nos eixos x,y e z.

Um ponto material realiza um movimento cujas equações paramétricas são:

• x=A.sen(wt)
  
• y=B.cos(wt)
  
• z=Ct
  

Com A, B e C diferentes de zero. A trajetória do ponto material em relação ao sistema xyz é:

a)circular
b)elíptica
c) parabólica
d)retilínea
e)uma curva reversa

Gabarito: e


A minha dúvida é como operar com o terceiro eixo, o eixo z, nesse tipo de questão.  :scratch:

Olá Lucasmed, nem sempre conseguiremos encontrar uma forma de equacionar uma curva de forma explicita, como por exemplo x²+y²=z². No entanto, podemos encontrar um parâmetro t que represente de forma excelente a curva, como a que você nos mostrou.
Só para facilitar, vamos fazer A=3, B=4, C=5 e w=pi. 

Se z fosse fixo, poderíamos isolar x e y:
\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 (elipse)

No entanto, para cada instante t, teremos a partícula em um novo nível horizontal dado por z=5t. O que quer dizer? Que em cada instante a partícula estará em uma nova elipse só que um nível horizontal acima.
Além disso, z'=5, ou seja, se você tivesse em um referencial que se movesse com uma velocidade de 5 u.a. na direção do eixo Oz com sentido para cima, você veria a partícula percorrer uma elipse de semi-eixos 3 e 4 nesse referencial. Se tivéssemos A=B a curva descrita seria uma curva helicoidal cilíndrica:



Se você jogar as equações paramétricas, com os dados que eu modifiquei, no WolframAlpha, terá:


Uma curva reversa.

Caso você tivesse em uma prova e precisasse ser rápido, poderia chegar na alternativa E via algumas deduções informais razoáveis e por exclusão:

A - Não pode ser circular, no máximo seria elíptica se z fosse constante.
B - z não é fixo e varia linearmente a t.
C - A equação entre x e y não configura uma parábola.
D - Neste caso não poderíamos ter x e y com potências maiores que 1, tudo deveria ser linear.

Alguém poderia argumentar que a curva poderia ser elíptica, circular ou parabólica, mesmo que por uma manipulação algébrica que incluísse z. No entanto, x e y têm valores limitados pelas funções trigonométricas, [-3,3] e [-4,4] respectivamente, ao passo que z pode crescer indefinidamente, "quebrando a curva". Por isso ela não pode ser fechada.

Espero ter ajudado, abraço!

Muito obrigado pela explicação e pelos gráficos das curvas!

Boa tarde, o que seria uma curva reversa ? Procurei aqui no Google a teoria e não encontrei.