Força mínima para não escorregar

questão237 do Renato brito...

Uma caixa de massa M é encostada numa parede vertical num local onde a gravidade vale g. O coeficiente de atrito entre a caixa e a parede vale U. Você deseja impedir que essa caixa escorregue parede abaixo aplicando uma força F que forma um ângulo alfa com a horizontal (-90º <= alta <= 90º), como mostra a figura.
a) Para um dado ângulo alfa, qual o menor valor de F requerido?
b) Para qual valor de alfa será requerida uma força F mínima? Qual o valor de Fmín nesse caso?
c) Supondo U = 1, para qual faixa de valores do ângulo alfa no intervalo -90º <= alfa <= 90º será impossível manter o bloco em equilíbrio estático?



Gabarito:
a) Fmin = M.g/(senalfa +Ucosalfa)
b) Fmín = Mg/√(U²+1) para tg alfa = 1/U --> alfa = arc tg(1/U)
c) -90º <= alfa <= -45º


geeente, consegui resolver só o item a... alguém poderia me explicar o item B e o item C?
não fço ideia de como fazer...

brigadããõ gente! beeeijoooks   

b) Tente elevar o denominador (senalfa +Ucosalfa) ao quadrado e iguale-o a X por exemplo, ai você vai ter uma equação do segundo grau em senalfa, em seguida você acha o valor máximo dela que resultará em um denominador máximo, consequentemente M.g/(senalfa +Ucosalfa) será mínimo.

c) não sei ainda.

b) Outro modo é derivar a função:

F = m.g/(sena + u.cosa)

F' = - m.g.(cosa - u.sena)/(sena + u.cosa)²

Para F ser mínima devemos ter F'= 0 ---> cosa - u.sena = 0 ---> u.sena = cosa

sena/cosa = 1/u ---> tga = 1/u ---> a = arctg(1/u)

sena/cosa = 1/u ---> sen²a/cos²a = 1/u² ---> sen²a/(1 - sen²a) = 1/u² --->

u².sen²a = 1 - sen²a ---> u².sen²a + sen²a = 1 ---> sen²a = 1/(u² + 1)

cos²a = 1 - sen²a ---> cos²a = 1 - 1/(u² + 1) ---> cos²a = u²/(u² + 1)

sena = 1/√(u² + 1) ---> cosa = u/√(u² + 1)

Fmín = m.g/[1/√u² + 1) + u²/√(u² + 1)] ---> Fmín = m.g/√(u² + 1)

c) Para a = - 90^o não existe componente horizontal ---> N = 0 ---> Fa = 0

Nesta situação a resultante vale R = F + P para baixo ---> Equilíbrio impossível

Para a = - 45^o ---> N = m.g.cos45^o ---> N = m.g.√2/2

Neste caso ---> Fa = P + F.√2/2 ---> u.N = m.g + F.√2/2 --->

1.m.g.√2/2 = m.g + F.√2/2 ---> m.g.√2 = 2.m.g + F ---> F = - m.g(2 - √2) --->

Equilíbrio impossível

Elcio, mt obrigada! Mas vc poderia tirar mais algumas dúvidas minhas? rsrsrs

Na b:
esse fato de F' = 0, isso acontece pq a derivada de um mínimo ou máximo local é sempre 0? 

Na c:
não entendi muito bem... vc verificou q é impossível o equilíbrio entre -90 e -45 mass como daí podemos concluir q pra todos os valores maiores do que -45 e menores do que 90 o equilíbrio é possível?

obrrrrigaada!  

Letícia

1) Sim. Sempre que a derivada é nula, obtém-se um valor máximo ou um valor mínimo de uma função. Nesta questão é um valor mínimo, embora eu não tenha provado (para fazê-lo seria necessário calcular a derivada 2^a F")

2) Eu mostrei apenas que, para a = - 90^o e a = - 45^o o equilíbrio é impossível.
Falta provar que o intervalo impossível é -90^o =< a =< - 45^o

Para a = - 60^o (no intervalo citado):

Fx = F.cos60^o ---> Fx = F/2

N = Fx ---> N = F/2 ---> a = u.N ---> Fa = u.F/2

Fy = F.sen60^o ---> Fy = F.√3/2 (para baixo)

R = P + Fy - Fa ---> R = m.g + F.√3/2 - u.F/2 ---> R = m.g + (√3 - 1)/2

A resultante é para baixo ---> Equilíbrio impossível

Logo, o intervalo citado está correto