Força Mínima para escorregar

por gabrielnogueira Ter 23 Jun 2015, 14:37

A figura mostra um bloco de massa m em repouso sobre uma rampa inclinada de um ângulo (alfa) com a horizontal. Uma força F será aplicada a essa caixa com o objetivo de fazê-la escorregar ladeira acima. Sendo u o coeficiente de atrito estático entre a caixa e a rampa, determine:

Força Mínima para escorregar Vht0z9_th

a) o valor da menor força F que torna iminente o escorregamento da caixa ladeira acima

b) o ângulo (beta) que a força deve fazer com a rampa, nas condições o item a.

Spoiler:

Spoiler:

por **Carlos Adir** Ter 23 Jun 2015, 15:07

A força F é o vetor mostrado na figura?
Considerando que seja, temos:
$\\ \mathrm{Forca \ resultante \ no \ sentido \ do \ movimento > Atrito} \\ \mathrm{F \cdot cos \ \beta - P \cdot sen \ \alpha > Normal \cdot \mu} \\ \mathrm{F \cdot cos \ \beta - P \cdot sen \ \alpha > \left(P \cdot cos \ \alpha - F \cdot sen \ \beta \right ) \cdot \mu} \\ \mathrm{Isolando \ F \ ent\~ao \ obtemos:} \\ \mathrm{F > mg \cdot \dfrac{sen \ \alpha + \mu \cdot cos \ \alpha }{cos \ \beta + \mu \cdot sen \ \beta}}$
$\mathrm{Adimitindo \ cos \ \theta = \dfrac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}; \ sen \ \theta = \dfrac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}} \Rightarrow tan \ \theta = \mu}$
Deste modo, podemos reescrever a força:
$\\ \mathrm{F > mg \cdot \dfrac{sen \alpha \cdot cos \ \theta + sen \ \theta \cdot cos \ \alpha}{cos \ \beta \cdot cos \ \theta+ sen \ \theta \cdot sen \ \beta}} \\ \mathrm{F>mg \cdot \dfrac{sen \left(\alpha + \theta \right )}{cos \left(\beta - \theta \right )}} \\ \mathrm{Forca \ minima \ quando \ denominador \ vale \ o \ maximo:} \\ \mathrm{F_{min}=mg \cdot sen \left(\alpha + \theta \right )} \\ \mathrm{Isso \ ocorre \ quando \ cos \left(\beta - \theta \right )=1 \Rightarrow \beta = \theta} \\ \mathrm{Lembrando \ que \ tan \ \theta = \mu \Rightarrow \theta = \arctan \left(\mu \right )}$

por gabrielnogueira Sáb 27 Jun 2015, 13:28

Carlos, poderia me explicar a parte do cos(teta)=...
Vi desse mesmo jeito no livro do Renato Brito e não entendi muito bem. Você já o resolveu?

por **Carlos Adir** Seg 29 Jun 2015, 10:48

Não, nunca o havia resolvido.
Simplificar as coisas para melhor analisar sempre é bom, e neste caso, utilizamos uma "manha" ou "sacada" pra reduzir tanto o denominador quanto o numerador a um termo só.
Por exemplo, tinhamos:
$\mathrm{\dfrac{sen \ \alpha + \mu \cdot cos \ \alpha}{cos \ \beta + \mu \cdot sen \ \beta}}$
Em cima temos dois termos com o angulo alpha, e embaixo dois termos com o ângulo beta.
Podemos reduzir do modo:
$\\ \mathrm{S=a \cdot sen \ \theta + b \cdot cos \ \beta=} \\ \mathrm{\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot sen \ \theta + \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot cos \ \beta \right )=} \\ \mathrm{Adotando \ tan \ \alpha = \dfrac{b}{a} , \ temos:} \\ \mathrm{S=\sqrt{a^2+b^2}\left(cos \ \alpha \cdot sen \ \theta + sen \ \alpha \cdot cos \ \beta \right )} \\ \mathrm{S=\sqrt{a^2+b^2} \cdot sen \left(\alpha + \theta \right )}$
Adotamos cos(theta)=1/(sqrt(1+u²)) para podemos juntar todos os termos.
Podes perceber que cos² theta + sen² theta = 1 para o que encontramos.
Reduzimos sempre pegando os termos numéricos que acompanham o ângulo e os transformamos em outro ângulo para melhor lidar.
Aprendi isso em livro de trigonometria, é muito útil em muitas partes para reduzir funções por exemplo.

por **Emanuel Dias** Sáb 02 maio 2020, 11:01

Alguém poderia mostrar os passos da resolução do Carlos?

por **Emanuel Dias** Sáb 02 maio 2020, 11:48

Consegui.

por **Elcioschin** Sáb 02 maio 2020, 11:55

Emanuel

A figura original não existe mais. Caso você a tenha, poste, por favor, para que os demais usuários entendam sua solução.

por **Emanuel Dias** Sáb 02 maio 2020, 12:09

Elcioschin escreveu:Emanuel

A figura original não existe mais. Caso você a tenha, poste, por favor, para que os demais usuários entendam sua solução.

Verdade, esqueci.

O triângulo a qual me refiro na resolução não é dado no problema, é apenas um bizu para reescrever a equação trigonométrica.

por **Elcioschin** Dom 03 maio 2020, 13:43

Você usou o termo "bizu" que qualquer estudante universitário de exatas de mais de 50 anos atrás usava.
Você sabe a origem deste termo?

Antigamente existia um livro de cálculo de um autor francês, que era muito bom e dava todas as dicas para os estudantes aprenderem. Seu sobrenome era Bezout cuja pronúncia é "Bizu".

Esta nome popularizou entre os estudantes que diziam comumente: "Oi amigo, me dá um bizu sobre esta questão"

por **Emanuel Dias** Dom 03 maio 2020, 14:18

Elcioschin escreveu:Você usou o termo "bizu" que qualquer estudante universitário de exatas de mais de 50 anos atrás usava.
Você sabe a origem deste termo?

Antigamente existia um livro de cálculo de um autor francês, que era muito bom e dava todas as dicas para os estudantes aprenderem. Seu sobrenome era Bezout cuja pronúncia é "Bizu".

Esta nome popularizou entre os estudantes que diziam comumente: "Oi amigo, me dá um bizu sobre esta questão"

Eu sabia da existência do matemático, mas não tinha feito a ligação com o termo. Perguntei em um grupo uma vez só disseram que eram "truques" para fazer questões mais facilmente, mas não falaram da origem. Interessantíssimo. Essa expressão deve ser bem antiga, os livros dele são de antes de 1800.