(UEL) Sequências

Considere a sequência na qual a₁ = 1 e a_n = a_n-1 + 2n + 1, para n inteiro maior que 1. O termo a_n dessa sequência é equivalente a:

A) n² - 1
B) n²
C) n² + 1
D) (n - 1)²
E) (n + 1)²

Tentei fazer:



E cheguei nisto...

da letra E?

Meu gabarito diz que é a letra B.

vou postar amanha minha tentativa, você tem urgência? estou sem meu editor de texto aqui em casa :/

Giovana Martins escreveu:Considere a sequência na qual a₁ = 1 e a_n = a_n-1 + 2n + 1, para n inteiro maior que 1. O termo a_n dessa sequência é equivalente a:

A) n² - 1
B) n²
C) n² + 1
D) (n - 1)²
E) (n + 1)²

Tentei fazer:



E cheguei nisto...

a_n = a_n-1 + 2n + 1, é positivo e não negativo como você desenvolveu, 

uma dica para a solução:
escreva os termos sem substituir
an = an-1 + 2n + 1
an-1 = an-2 +2(n-1) + 1
.
.
.
a2 = a1 + 2.1 + 1
a1 = 2.0 + 1
some todas as equações, os termos de a1 até an-1 vão se cancelar
ai é so trabalhar com um lado da equação, no primeiro membro só vai ficar o an

Muito obrigada a ambos. Obrigada pelo aviso, joba. Estou um pouco cansada e acabei não vendo o erro...

Oi de novo, Giovana!
De fato, a diferença entre dois termos consecutivos, a(n-1) e a(n), é igual a 2n + 1. No entanto, este valor não é uma constante. Portanto, não se trata de uma P.A.!!
Esta sequência pertence à família de sequências em que as diferenças entre termos consecutivos formam uma P. A. Alguns chamam isto de "PA de segunda ordem" (eu pessoalmente não gosto muito dessa denominação...)
É possível demonstrar que, nesse tipo de sequência, o termo geral a(n) tem uma dependência de segundo grau em n (repare que, em uma PA, essa dependência é de primeiro grau, e. g. a(n) = 3 + 4n quando o termo inicial é 7 e a razão é 4).
Então, o que ocorre é o seguinte:
a_n = An^2 + Bn + C
Agora basta determinarmos os coeficientes A, B e C. Para isso precisamos de 3 termos. Já temos a1 = 1;
\\ a_2 = a_1 + 2\cdot 2+ 1 \Rightarrow a_2 = 1 + 4 + 1 = 6
\\ a_3 = a_2 + 2\cdot 3 + 1 \Rightarrow a_3 = 6 + 6 + 1 = 13
Voltamos na expressão geral e substituímos os valores obtidos.
\\ 1 = A\cdot 1^2  + B \cdot 1 + C \Rightarrow A+ B + C = 1 \\ 6 = A\cdot 2^2 + B \cdot 2 + C \Rightarrow 4A + 2B + C = 6 \\ 13 = A \cdot 3^2 + B \cdot 3 + C \Rightarrow 9A + 3B + C = 13
Agora temos um sistema linear 3x3:
9A + 3B + C = 13
4A + 2B + C = 6
A + B + C = 1
Este é bem fácil de resolver. Vamos subtrair a terceira equação nas duas primeiras:
8A + 2B = 12 --> B = 6 - 4A
3A + B = 5 --> B = 5 - 3A
6 - 4A = 5 - 3A --> A = 1 
B = 5 - 3.1 = 2
1 + 2 + C = 1 --> C = -2 
Portanto a expressão é
\\ a_n = n^2 + 2n - 2
Eu sei que é mais fácil acreditar se fizermos o processo inverso. Vamos tomar a expressão obtida e calcular a(n) - a(n-1):
\\ a_n - a_{n-1} = n^2 + 2n - 2 - ( (n-1)^2 + 2(n-1) -2) = \\= n^2 + 2n - 2 - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2 -2) = n^2 + 2n -2 -n^2 + 3 = 2n + 1 \\ \therefore a_n = a_{n-1} + 2n + 1
Procure pesquisar sobre o assunto, é bem interessante. Procure pelas demonstrações.

A minha solução ficou desse jeito:

Giovana, complementando as excelentes respostas já dadas:

Para mim, o jeito mais fácil de descobrir a expressão de uma P.A. de segunda ordem é pela Soma da P.A. "embutida".

--------------------------------------------------
Sequência A:
a₁=1
a₂=6
a₃=13
a₄=22
...

--------------------------------------------------
Sequência X
x₁=a₂-a₁=5
x₂=a₃-a₂=7
x₃=a₄-a₃=9
...

Note que (x₁,x₂,x₃,...,x_n) é uma P.A de razão 2
------------------------------------------------------
Sabendo dessa informação, a expressão de a_n em função de "n" é:

a_n=a₁+∑₁^n-1 x


Em que ∑₁^n-1 x é igual o somatório de "X" quando n varia de 1 até (n-1), ou seja, a Soma da P.A "embutida" até o termo (n-1).

Por que até n-1?
Bom, vou escrever a sequência original novamente, de outra forma.

a1=1
a2=a1+x1
a3=a2+x2
...
an=an-1+xn-1

OBS: Note, também, que:
a3=a1+x1+x2, por isso usamos Somatório da P.A "embutida".

Cálculo da P.A de segunda ordem:

S_n-1=(x_n-1+x₁).(n-1)/2

Sabendo que:
x_n=x_n-1+2
x_n-1=x_n-2
x_n-1=x₁+(n-1).r-2
x_n-1=5+(n-1).2-2
x_n-1=2n+1

∴

S_n-1=(2n+1+5).(n-1)/2
S_n-1=(2n+6).(n-1)/2
S_n-1=(n+3).(n-1)
S_n-1=n²+2n-3

∴
a_n=1+n²+2n-3
a_n=n²+2n-2