Ortocentro e ângulo reto

BE e AD são as alturas do triangulo ABC,H é ortocentro e F,G,K são os pontos médios dos segmentos AH,AB,BC,respectivamente. Prove que o angulo FGK é reto.

Eu quebrei a cabeça nesse exercício, até notar que a explicação é puramente observacional. Veja, o triangulo ADG é proporcional ao triangulo ALB, com os lados desse equivalendo a metade dos lados deste. Sendo proporcional, os ângulos são iguais. Acontece que, ao reduzir o segmento AH à metade, formando AF, tendo os mesmo ângulos, ele estará colinear a DG assim como H é colinear a LB. Como LB forma 90 graus como AC, por ser altura, também DG forma 90 graus com AC!

E é entendível que FGK formará também 90 graus pois GK é paralelo a AC, então o cruzamento entre retas FG e GK formam os mesmo graus que o cruzamento FG e AC (a saber, 90 graus).

A prova dessa afirmativa pode ser dada por Geometria Analítica básica: toda vez que se assume o ponto médio de um segmento, tira-se a média dos valores de X e de Y dos dois pontos que o compõe; ignorando o X, assumamos os valores de Y de A e C como sendo 0 para um plano cartesiano imaginário. Sendo assim, os pontos G e K terão ambos o valor Y correspondente à metade de Y de B, estando, portanto, perpendiculares ao eixo Y que é perpendicular ao eixo X, ou seja, estarão paralelos ao eixo x  e por conseguinte paralelos a AC (assim como GE é paralelo a BC, por exemplo).