Dúvida em Resolução envolvendo pentágono

por **Adam Zunoeta** Sex 05 Nov 2010, 03:46

Na figura temos um pentágono regular de lado "L".
Dúvida em Resolução envolvendo pentágono Figuray

Determine o lado do pentágono sombreado.

Resolução:
Dúvida em Resolução envolvendo pentágono Figura

Eu não entendi porque ele fez isso:
${\color{red}2x+y}=\frac {L(\sqrt {5}+1)}{2}$

O correto não seria este?
${\color{red}2y+x}=\frac {L(\sqrt {5}+1)}{2}$

Onde:
$diagonal=\frac {L(\sqrt {5}+1)}{2}$

Mostrando como ele chego na equação (1) e como ele determino a diagonal:

Aplicando a lei dos cossenos no $\Delta A'B'B$ vem:

Temos um pentágono regular então o ângulo interno é:

${a}_{i}=\frac {(n-2)180^\circ}{n}\rightarrow {a}_{i}=108^\circ$

$A'\widehat {B}B'=\frac {108^\circ}{3}=36^\circ$

Agora usamos a lei dos cossenos no $\Delta A'B'B$ , então:

$x^2=y^2+y^2-2y.y.cos36^\circ$

$x^2=2y^2-2y^2cos36^\circ\rightarrow (1)$

$cos36^\circ$ e agora?

Usando o decágono como referência temos:
${a}_{central}=\frac {360}{n}\rightarrow {a}_{c}=36^\circ$
Dúvida em Resolução envolvendo pentágono Figurat

Dúvida em Resolução envolvendo pentágono Figurat

Sabemos que o lado do decágono vale:
$L=\frac {R(\sqrt {5}-1)}{2}\rightarrow (2)$
Aplicando a lei dos cossenos na figura acima temos:
$L^2=R^2+R^2-2R.R.cos36^\circ\rightarrow (3)$
Isolando o $cos36^\circ$ vem:
Substituindo (2) em (3) temos:
$cos36^\circ=\frac {1+\sqrt {5}}{4}\rightarrow (4)$

Substituindo (4) em (1) (vai ter que simplificar o radical duplo)vem:
$x=\frac {y(\sqrt {5}-1)}{2}\rightarrow (5)$

Pronto mostrada a equação (I) da figura.

Agora vamos determinar $\overline {BD}$ que é a diagonal do pentágono.
Dúvida em Resolução envolvendo pentágono Figura

Lembrando que o lado do pentágono é:
$L=\frac {R\sqrt {10-2\sqrt {5}}}{2}$

Aplicando novamente a lei dos cossenos temos:

$L^2=d^2+d^2-2d.d.cos36^\circ$

Isolando o "d" (vai ter que simplificar o radical duplo) temos:

$d=\frac {L(1+\sqrt {5})}{2}$

por **Elcioschin** Sex 05 Nov 2010, 13:37

Balanar

Algumas informações básicas:

cos72º = (V5 - 1)/4
cos36º = (V5 + 1)/4

ângulos BÂA' = E'ÂA' = EÂE' = 36º ----> subtendem os mesmos arcos de 72º (BC, CD e DE)

a) Triângulo BA'B' ----> x = 2y*cos72º ----> x = y*(V5 - 1)/2 ----> (1) ----> correto ----> y = 2x/(V5 - 1)

b) Triângulo BCD ----> BD = 2L*cos36º ----> BD = L*(V5 + 1)/2

Aqui ele errou sim: o correto é ----> 2y + x = L*(V5 + 1)/2

2*2x/(V5 - 1) + x = L*(V5 + 1)/2 ----> 4x/(V5 - 1) + x*(V5 - 1)/(V5 - 1) = L*(V5 + 1)/2 ---->

x*(3 + V5)/(V5 - 1) = L*(V5 + 1)/2 ----> x*(3 + V5) = L*(V5 + 1)*(V5 - 1)/2 ---->

x*(3 + V5) = 2L ===> x = 2L/(3 + V5) ----> x = 2L*(3 - V5)/(9 - 5) ----> x = L*(3 - V5)/2

Note que o erro dele foi apenas a troca de y com x, porém no final a resposta dele está correta.

por **Adam Zunoeta** Sex 05 Nov 2010, 13:41

Elcioschin escreveu:Balanar

Algumas informações básicas:

cos72º = (V5 - 1)/4
cos36º = (V5 + 1)/4

ângulos BÂA' = E'ÂA' = EÂE' = 36º ----> subtendem os mesmos arcos de 72º (BC, CD e DE)

a) Triângulo BA'B' ----> x = 2y*cos72º ----> x = y*(V5 - 1)/2 ----> (1) ----> correto ----> y = 2x/(V5 - 1)

b) Triângulo BCD ----> BD = 2L*cos36º ----> BD = L*(V5 + 1)/2

Aqui ele errou sim: o correto é ----> 2y + x = L*(V5 + 1)/2

2*2x/(V5 - 1) + x = L*(V5 + 1)/2 ----> 4x/(V5 - 1) + x*(V5 - 1)/(V5 - 1) = L*(V5 + 1)/2 ---->

x*(3 + V5)/(V5 - 1) = L*(V5 + 1)/2 ----> x*(3 + V5) = L*(V5 + 1)*(V5 - 1)/2 ---->

x*(3 + V5) = 2L ===> x = 2L/(3 + V5) ----> x = 2L*(3 - V5)/(9 - 5) ----> x = L*(3 - V5)/2

Note que o erro dele foi apenas a troca de y com x, porém no final a resposta dele está correta.