Dúvida em inequação envolvendo módulo

por OverTime_ Sáb 27 Abr 2019, 17:33

Olá, tenho uma dúvida quanto a resolução de uma inequação envolvendo módulo. O exercício em questão é esse:

\left | x^2-2 \right |+2x+1\geq 0

A resposta dele é: S = {x\in \mathbb{R}\mid x\leq -1-\sqrt{2}oux\geq -1}

Porém, ao invés de x\geq -1 , não seria -1\leq x< \frac{\sqrt{8}}{2} ? Pois resolvendo o módulo, para x^2-2< 0 temos o intervalo -\frac{\sqrt{8}}{2} . Aí para valores nesse intervalo a inequação fica -x^2+2x+3 >= 0 e, resolvendo, temos o intervalo -1 =< x < 3 . Sendo assim, não temos que considerar os valores de x que pertencem aos dois intervalos?

por GBRezende Sáb 27 Abr 2019, 17:52

OverTime_ escreveu:Pois resolvendo o módulo, para x^2-2< 0 temos o intervalo -\frac{\sqrt{8}}{2} .

x^{2}-2<0 \\ x^{2}<2 \\ -\sqrt{2}
Não sei se é apenas nessa parte que você estava errando a conta, mas tente trabalhar com isso, pois o gabarito está correto. Se mesmo assim ainda estiver com dúvida, fale que resolvo a questão completa.

por OverTime_ Sáb 27 Abr 2019, 22:06

Você poderia resolver por favor? Ainda estou com dúvidas, principalmente quanto ao intervalo solução. Eu ainda não entendi o porque de o X não estar limitado a \sqrt{2}

por Jessie Sáb 27 Abr 2019, 23:32

Veja e compare:

Dúvida em inequação envolvendo módulo 11113

por OverTime_ Dom 28 Abr 2019, 12:22

Por que a primeira solução é uma união? Ela não estaria limitada a x\leq-\sqrt{2} ? Mas entendi melhor agora, quando eu estava resolvendo esqueci de considerar a terceira solução e por isso pensei que o x estava limitado a \sqrt{2} . Outra coisa, a solução 2 não seria -1\leq x < \sqrt{2} . ?

por GBRezende Dom 28 Abr 2019, 13:41

Seja f(x)=|x^{2}-2|+2x+1
Para x^{2}-2\geq 0, f(x)=x^{2}-2+2x+1. Ou seja, f(x)=x^{2}+2x-1 para x\geq \sqrt{2} ou x\leq -\sqrt{2}

Para x^{2}-2\leq 0, f(x)=2-x^{2}+2x+1. Ou seja, f(x)-x^{2}+2x+3 para -\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}.

Trabalhando primeiro com -\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}:
-x^{2}+2x+3\geq 0 \\ -1\leq x\leq 3
Adaptando ao intervalo que estamos trabalhando:
-1\leq x\leq \sqrt{2}

Agora, para x\leq -\sqrt{2} ou x\geq \sqrt{2}:
x^{2}+2x-1\geq 0 \\ x\leq -1-\sqrt{2} ou x\geq -1+\sqrt{2}
Adaptando ao intervalo que estamos trabalhando:
x\leq -1-\sqrt{2} ou x\geq \sqrt{2}

Unindo os intervalos:
x\leq -1-\sqrt{2}ou x\geq -1.