Sólido de Revolução

Calcule a área e o volume gerados pela rotação da figura dada em torno do eixo indicado XY.

Faça pelo teorema de Pappus-Guldins, é bem mais fácil de resolver e de entender:

O primeiro teorema define que a área de uma superfície de revolução é igual ao produto do comprimento da curva geratriz pelo comprimento do caminho percorrido pelo centroide dessa mesma curva ao longo do ângulo que gera a superfície.
Sendo  o comprimento da curva geratriz temos então:


Bom, θ  é o ângulo que você deseja rotacionar essa figura, nesse caso θ =2pi=360º.

ybarra= é a distância do centro geométrico da figura até a reta de rotação. No caso de um triângulo qualquer o baricentro será sempre o centro geométrico da figura. Bom o baricentro do triângulo equilátero corta os lados do triângulo no ponto médio. Logo essa distância será de a+a/2=3a/2

Já o L (curva geratriz) será o perímetro da figura rotacionada, nesse caso é 3a.


Através do teorema acima, temos:

A=2pi.3a.3a/2=9pi.a²

Seguindo o estilo do TNY, o volume é dado por
V = 2pi.R.A
onde
A = área do triângulo = a²√3/4
R = distância do baricentro ao eixo de rotação (XY) = 3a/2

.:. V = (3√3/4) pi.a³

Muito obrigada

Obrigado Medeiros, acabei esquecendo do volume.