Dúvida de Matemática

por ANTONIO MANOEL DE ALMEIDA Dom 14 Jun 2015, 17:08

Boa tarde, a todos!

Por favor, seria possível me encaminhar a resolução da questão abaixo?

Agradeço, mais uma vez.

Antonio Manoel de Almeida

( U. F. Uberlândia-MG) Na equação 1 + sen²( x/a) = sen x, em que a é um número real não nulo e 0 ≤ x ≤ π, o maior valor positivo de a para que essa equação admita solução é igual a:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2

R esposta letra b

por **Ashitaka** Dom 14 Jun 2015, 17:23

sen²(x/a) = senx - 1

senx - 1 ≥ 0
senx ≥ 1 ---> x = pi/2

sen²(pi/(2a)) = 0
pi/(2a) = 0 ---> sem solução ou
pi/(2a) = pi ---> a = 1/2.

por **Carlos Adir** Dom 14 Jun 2015, 17:37

Ashitaka mandou antes, pra não perder a resposta:

Temos que:
$\\ \mathrm{sen^2 \left(\dfrac{x}{a} \right ) \ge 0} \\ \mathrm{1+sen^2 \left(\dfrac{x}{a} \right ) \ge 1} \\ \mathrm{sen \ x \ge 1} \\ \mathrm{Como -1 \le sen \ x \le 1, \ ent\~ao:} \\ \mathrm{sen \ x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2}}$

Logo, substituindo o valor de x:
$\\ \mathrm{1+sen^2 \left(\dfrac{\frac{\pi}{2}}{a} \right ) = sen \left(\dfrac{\pi}{2} \right )} \\ \mathrm{1 + sen^2 \left(\dfrac{\pi}{2a} \right )=1} \\ \mathrm{sen^2 \left(\dfrac{\pi}{2a} \right )=0 \Leftrightarrow sen \left(\dfrac{\pi}{2a} \right )=0} \\ \mathrm{Mas \ temos \ que \ o \ seno \ zero \ ser\'a:} \\ \mathrm{sen \ b = 0 \Leftrightarrow b = k\pi; \ \ \ k \in \mathbb{Z}} \\ \mathrm{Ent\~ao \ obtemos:} \\ \mathrm{\dfrac{\pi}{2a} = k\pi \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2k}; \ \ \ k \in \mathbb{Z}} \\ \mathrm{Como \ queremos \ que \ a \ seja \ o \ maior \ possivel,} \\ \mathrm{e \ isso \ ocorre \ quando \ k \ for \ o \ minimo: \ k=1 } \\ \mathrm{Logo, a = \dfrac{1}{2 \cdot 1} = \dfrac{1}{2}}$

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