Fenômenos de Transporte

Eu não sei grandes coisas sobre Fenômenos de Transporte. Conheço apenas um pouco sobre a teoria que envolve a matéria, por mera questão de curiosidade, e por se tratar de um tema no qual eu pretendo trabalhar na área no futuro. Como ninguém propôs nenhuma resolução, irei propor uma. A noite eu posto algumas imagens.

Hipóteses:

- Escoamento em regime permanente/estacionário (∂/∂t=0);

- Fluido incompressível (ρ=constante) - esta hipótese implica na divergência nula da velocidade (∇.V=0);

- Fluido real (μ=constante);

- E.P.D.: Escoamento plenamente desenvolvido (∂v/∂y=0);

- A pressão atmosférica atua em todo o sistema de modo que não haja a presença de gradientes de pressão nas direções x, y e z;

- Velocidade nula nas direção de x e z (u=w=0).

\\\mathrm{Conser.\ da\ Massa:\ }\frac{\partial \rho  }{\partial t}+\vec {\nabla }.(\rho \vec{V})=0\to \frac{\partial \rho}{\partial t}+\rho \vec {\nabla }. \vec{V}=0\to \vec {\nabla }.\vec{V}=0\\\\\therefore \ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0\to 0+\frac{\partial v}{\partial y}+0=0\to \frac{\partial v}{\partial y}=0\ \left ( \mathrm{E.P.D.} \right )\\\\\therefore \ \frac{\partial v}{\partial y}=0\to v(x)=c_0+f(x)\ \therefore \ v=v(x)=g(x)

\\\mathrm{Navier-Stokes:}\ \rho \left [ \frac{\partial  \vec{V}}{\partial t}+\vec{V}\left ( \vec{\nabla }.\vec{V} \right ) \right ]=\rho \vec{g}-\vec{\nabla}p-\mu \nabla^2 \vec{V}\\\\\mathrm{Em\ y:}\ \rho \left ( \frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z} \right )=\rho g_y-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu \left ( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial z^2} \right )\\\\\rho (0+0+0+0)=-\rho g-0+\mu \left ( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+0+0 \right )\to \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}=\frac{\rho g}{\mu }\\\\\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}=\frac{\rho g}{\mu }\to \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\rho g}{\mu }x+c_1\to v(x)=\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\mu }x^2+c_1x+c_2

Na superfície livre (x=e, em que "e" é a espessura do fluido) a tensão de cisalhamento é nula. Assim, temos uma condição de contorno para resolvermos nossa equação diferencial. Por sua vez, para x=0, a tensão de cisalhamento é máxima, assim, nesse ponto, a velocidade do fluido na fronteira entre a parede e o fluido é praticamente nula. Sabendo-se disso, podemos encontrar os perfis da tensão de cisalhamento e de velocidade.

\\\tau _{xy}=\mu \frac{\partial v}{\partial x}\to \tau _{xy}=\mu \left ( \frac{\rho g}{\mu }x+c_1 \right )\\\\\left [ \tau _{xy} \right ]_{x=e}=0\ \therefore \ c_1=-\frac{\rho ge}{\mu }\ \therefore \ \underset{\mathrm{Perfil\ linear}}{\underbrace{\tau _{xy}=\rho g(x-e)}}\\\\x=0\to v(x=0)=0\ \therefore \ c_2=0\ \therefore \ \underset{\mathrm{Perfil\ parabolico}}{\underbrace{v(x)=\frac{\rho g}{\mu }\left ( \frac{1}{2}x^2-ex \right )}}

É intuitivo pensar que a velocidade do escoamento é máxima quando x=e, afinal, nesse ponto tem-se uma região na qual não há cisalhamento (superfície livre). Fazendo-se uma análise de otimização do perfil de velocidade v(x), é possível concluir que de fato a velocidade é máxima no ponto x=e. Assim:

\\v(x=e)=v_{max}\ \therefore \ \boxed {v_{max}=-\frac{1}{2}\frac{\rho ge^2}{\mu }}

Ao meu ver, o sinal negativo corresponde ao fato de a velocidade v(x) estar no sentido oposto ao do referencial adotado. Em termos físicos, tomamos o módulo do valor obtido.

Cálculo da velocidade média (supondo que seja h a profundidade). Pelo Teorema do Valor Médio:

\\\bar{v}=\frac{\int \vec{v}.d\vec{A}}{\int dA}\to \bar{v}=\frac{1}{he}\int_{0}^{e}\left [ \frac{\rho g}{\mu }\left ( \frac{1}{2}x^2-ex \right ) \right ]hdx\to \boxed {\bar {v}=-\frac{1}{3}\frac{\rho ge^2}{\mu }}

Para os dados do problema (supondo g≈9,8 m/s²) tem-se que as velocidades máxima é média são, respectivamente, aproximadamente 4,14 mm/s e 2,76 mm/s.

Perfis de tensão de cisalhamento e de velocidade:



Nota¹: na ilustração de onde eu acho o diferencial de área, onde está "w" (profundidade) lê-se "h".

Nota²: a tensão de cisalhamento é máxima para x=0.

Espero não ter errado nada.