ENEM 2014 divisores

por luizmarcelomz Qui maio 07 2015, 20:22

(ENEM de 2014) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela decomposição 2^x. 5^y.7^z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é
a) x.y.z
b) (x+1).(y+1)
c) x.y.z - 1
d) (x+1).(y+1).z
e) (x+1).(y+1).(z+1) – 1

GABARITO: E
Então, sei que é possível calcular o número de divisores naturais de um número por (x+1) (y+1) (z+1). No caso, teríamos (x+1) (y+1) (z+1) -1 divisores naturais diferentes de N. Pois bem, mas como a questão pede o número de DIVISORES diferentes de N e não o de DIVISORES NATURAIS diferentes de N, eu não deveria considerar os divisores inteiros negativos? E, nesse caso, a resposta não seria [2(x+1).(y+1).(z+1)] – 1?

por **Ashitaka** Qui maio 07 2015, 21:32

na qual x, y e z são números inteiros não negativos = divisores naturais.
Além disso, N é múltiplo não é múltiplo de 7 ---> z = 0. Logo, a E é válida.

por luizmarcelomz Qui maio 07 2015, 21:41

Sim, a alternativa E representa o número de divisores naturais diferentes de N. Mas o enunciado não deveria pedir os divisores NATURAIS para ser correto? Tive essa dúvida, daí pensei que, por ele pedir os divisores (não especifica natuarais), deveria considerar os inteiros negativos também. Por isso pensei que a resposta mais adequada deveria ser [2(x+1).(y+1).(z+1)] – 1. Claro que a E era a mais plausível, mas e se fosse discursiva? Os divisores não podem ser negativos?

por **Ashitaka** Qui maio 07 2015, 21:51

Mas eu já respondi essa tua dúvida na primeira linha da minha outra mensagem... Se não tivesse explicitado que são naturais, o que não é o caso, você deveria considerar, sim, os negativos.

por luizmarcelomz Qui maio 07 2015, 22:01

Mas mesmo assim, por exemplo, se x= 1, y= 2 e z=0, teríamos:
N= 2.25= 50
50 tem (1+1) (2+1) (0+1)= 6 divisores naturais (1,2,5,10,25,50)
Ou seja, são (x+1) (y+1) (z+1)-1 divisores naturais diferentes de N.
Mas (-1,-2,-5,-10,-25 e -50) também não seriam divisores, já que, ao serem divididos por N, formam números inteiros? Então, mesmo se x, y e z forem naturais, por que não podem haver [2(x+1).(y+1).(z+1)] – 1 divisores diferentes de N (considerando os inteiros negativos)? Nesse caso haveria mais divisores do que a letra E afirma.

por **Ashitaka** Qui maio 07 2015, 22:17

O motivo é simples: a questão pede apenas divisores naturais. Se fossem divisores inteiros e não somente naturais você estaria correto.

por felipe.usp1 Sáb Out 17 2015, 09:33

Desculpe ressuscitar esse tópico, mas sim, o enunciado da questão está claramente incompleto, Luiz.
Divisores de um número são os números inteiros que dividem o número. O fato das potencias serem naturais não tem absolutamente nada a ver com o divisor ser natural, basta entender o significado das potências.

por **ivomilton** Sáb Out 17 2015, 13:10

Ashitaka escreveu:na qual x, y e z são números inteiros não negativos = divisores naturais.
Além disso, N é múltiplo não é múltiplo de 7 ---> z = 0. Logo, a E é válida.

Boa tarde,

Em sua citação, você fala de ser x, y e z números inteiros não negativos.
Entretanto, x, y e z são os expoentes dos fatores primos, e dizer que x, y e z são "não negativos" não impede que se inclua os divisores negativos, pois uma coisa são os expoentes dos fatores primos e outra coisa são os divisores de N.

Um abraço.

por **Ashitaka** Sáb Out 17 2015, 13:34

De fato, eu fui desatento ao justificar falando do X, y e z e resolvi tendo em mente que ele queria os divisores pertencentes a N (naturais) e não percebi desatentei que era N o número. Peço desculpas.