(IME)Altura do Poço

por blfelix Qui 16 Set 2010, 16:53

O som do choque de uma pedra que cai em um poço, sem velocidade inicial, ouve-se depois de t segundos de ter sido largado. Achar a profundidade h do poço, sabendo que a velocidade do som no ar é Vs e que a aceleração da gravidade é g.

(IME)Altura do Poço Codecogseqno

por **luiseduardo** Qui 16 Set 2010, 21:20

Caramba, achei isso, se alguém quiser continuar ou corrigir:

T = tempo de queda
t1 = tempo de subida
Vs = v
t = tempo total

h = gT²/2
h = Vs*t1

t1 = h/v
T = V2h/g

T + t1 = t

V2h/g + h/v = t

2h/g + h²/v² + 2hV(2/g.v) = t²
2h + gh²/v² + 2hgV(2/gv) = gt²

2h.v² + gh² + 2hg*v²V(2/gv) = g.v².t²

gh² + 2h.v² + 2h.gv²(2/gv) - gv²t² = 0

???

por **Euclides** Qui 16 Set 2010, 22:22

oi luiseduardo,

esse é o tipo de questão que eu não gosto. Conceitualmente você resolve num instante e depois vem uma maratona algébrica totalmente chata e desnecessária.

por blfelix Sex 17 Set 2010, 03:21

O que dificultou para mim, foi justamente a maratona algébrica.Quanto mais eu mexia mais complicado ficava, eu consegui chegar até onde o luiseduardo chegou.

por **luiseduardo** Sex 17 Set 2010, 16:58

Agora pra tirar o delta e a equação. Bfelix, vc tem essa prova do IME ? Não compreendo. Deve haver uma forma mais simples que não estamos visualizando.

por blfelix Sáb 18 Set 2010, 00:15

luiseduardo na verdade, essa questão é de um material de revisão para o IME que eu baixei no site Rumo ao ITA.

por Jean1512 Sex 06 maio 2011, 16:49

É uma questão chata, de fato.

Mas é do ITA e estava numa lista de revisão para o IME.

Estava tendo problemas com ela, procurei a resolução por aqui, não achei e resolvi quebrar a cabeça.

(pena que na época da discussão da questão eu não imaginava que existia o fórum! além disso, o Sr. que pediu a resolução não a teve em tempo. Enfim, chega de papo.)

Uma dica: Antes de equacionar, é necessário que tanto T quanto t1 sejam maiores que zero.

Para simplificar, escreva tudo em função de h e resolva t1.

$h=\frac{gt_{1}^{2}}{2}$
$h=V_{s}T$

Igualando as equações:

T=t1²g/(2Vs)

t1 + T = t

t1²g/(2Vs) + t1 - t =0

Multiplicando tudo por 2Vs:

t1²g + 2t1Vs -2tVs =0

$t_{1}=\frac{-2V_{s} \pm \sqrt{4V_{s}^{2} -4g(-2tV_{s})}}{2g}$
t1>0

$t_{1}=\frac{-2V_{s} + 2 \sqrt{V_{s}^{2} + 2tgV_{s}}}{2g}$

$t_{1}=\frac{-V_{s} + \sqrt{V_{s}^{2} + 2tgV_{s}}}{g}$

Mas:

$h=\frac{gt_{1}^{2}}{2}$

Então:
$t_{1}^{2}=\frac{V_{s}^{2} + V_{s}^{2} + 2tgV_{s} -2V_{s} \sqrt{V_{s}^{2} + 2tgV_{s}}}{g^{2}}$
$t_{1}^{2}=\frac{2V_{s}^{2} + 2tgV_{s} -2V_{s} \sqrt{V_{s}^{2} + 2tgV_{s}}}{g^{2}}$

$h=\frac{gt_{1}^{2}}{2}$

$h=\frac{g\frac{2V_{s}^{2} + 2tgV_{s} -2V_{s} \sqrt{V_{s}^{2} + 2tgV_{s}}}{g^{2}}}{2}$

$h=\frac{V_{s}^{2} + tgV_{s} -V_{s} \sqrt{V_{s}^{2} + 2tgV_{s}}}{g}$

$h=\frac{V_{s}(V_{s} + gt - \sqrt{V_{s}^{2} + 2tgV_{s}}}{g}$

Letra C