Contradomínio funções trigonométricas

por Gogo1111 Sáb 18 Abr 2015, 19:26

Considere a função f, de domínio ℝ , definidas por f(x) = 2senx(senx+√3 cosx).

Determine o contradomínio da função f.

Solução: [-1,3]

por **Carlos Adir** Sáb 18 Abr 2015, 20:49

Fazendo manipulação, obtemos:
$f(x) = 4 \cdot sen \ x \cdot sen \left(x + \dfrac{\pi}{3} \right )$

Calculos:

Por protasférese temos:
$f(x)=1 - 2 \cdot cos \ 2x$

Calculos:

Agora só achar a imagem, que fica fácil. Temos então:
$-1 \le f(x) \le 3$

Calculos:

Ou podemos fazer a derivada e igualar a zero:
$\\ f(x)=2 \cdot sen \ x \left(sen \ x + \sqrt{3} \cdot cos \ x \right ) \\ f'(x)=2 \left[cos \ x \left(sen \ x + \sqrt{3} \cdot cos \ x \right )+sen \ x \left(cos \ x - \sqrt{3} sen \ x \right ) \right ]=0 \\ 2 \cdot sen \ x \cdot cos \ x +\sqrt{3}cos^2 \ x -\sqrt{3}sen^2 \ x=0 \\ sen \ 2x + \sqrt{3} cos \ 2 x = 0 \Rightarrow tan \ 2x = - \sqrt{3} \Rightarrow x =\dfrac{2\pi}{3} \ ou \ x =-\dfrac{\pi}{6}$
Assim, aplicando à função:
$\\\begin{cases} f\left(\dfrac{2\pi}{3} \right ) = 3 \\ f\left(\dfrac{-\pi}{6} \right ) =-1\end{cases}$
Achamos os máximos e mínimos, sabemos a função então.

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