(ITA 1983) Considere um numero complexo z

(ITA 1983) Considere um numero complexo z tal que \frac{z^2}{ \bar{z}i} tem argumento igual a \frac{\pi}{4}  e log_{2}{(z+\bar{z}+2)}=3. Nestas condições, podemos afirmar que:

a) Não existe ln {\frac{z+\bar{z}}{i}

b) z^4+ln \frac{z+\bar{z}}{i}=-324.

c)z+2\bar{z} é um número real.

d) (1/z)^3=(1/108)(1+i)

e) (1/z)^3=-(1/108)(1+i)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bom, antes de tudo já sabe-se que esta questão está errada e não bate com as alternativas. Porém eu fiz do meu jeito e deu o seguinte:

e encontrei z=cis \phi com \phi = \pi/4+\pik/3, o que implica que por si só  que não bate com log_{2}{(z+\bar{z}+2)}=3  do enunciado.

Porém  há uma resolução do Etapa:




Eu não consigo ver erro na minha resolução também não consigo ver na do Etapa. A minha tá totalmente diferente da resolução do Etapa.

Alguém percebe algum erro na minha resolução?

Bom, pela minha conta, acredito que seja alternativa A:
z= xcis(t) e que |z|^2=z._z 
 
I) (z)^2/_z.i => multiplicando por z/z temos: z^3/|z|^2.cis(90°) = x^3.cis(3t)/x^2.cis(90°) => X.cis(3t-90°). Se o arg e igual a 45° :. 3t-90°=45°=> t=45°
II) Se log2(z+_Z+2) = 3 então Log2(2Re(z) + 2) = 3 => 2^3 = 2Re(z) +2 => Re(z) = 3.
 Se Re(z) = 3+> cos45°.X = 3:. X= 3(2)^1/2....... logo: z = 3(2)^1/2.cis(45)

Provando que A é correta:Ln(z+_Z)/i = não existe=> ln(2.3)/i= ln(6/i) ==== racionalizando==== ln(-6i), e levando em condição de existência que Loga(b)/ b>0, temos que ln(-6i) não satisfaz a C.E. de logaritmos 

ALTERNATIVA A 

Espero ter ajudado!!

Jonas Mira escreveu:Bom, pela minha conta, acredito que seja alternativa A:
z= xcis(t) e que |z|^2=z._z 
 
I) (z)^2/_z.i => multiplicando por z/z temos: z^3/|z|^2.
cis(90°) = x^3.cis(3t)/x^2.cis(90°) => X.cis(3t-90°). Se o arg e igual a 45° :. 3t-90°=45°=> t=45°
II) Se log2(z+_Z+2) = 3 então Log2(2Re(z) + 2) = 3 => 2^3 = 2Re(z) +2 => Re(z) = 3.
 Se Re(z) = 3+> cos45°.X = 3:. X= 3(2)^1/2....... logo: z = 3(2)^1/2.cis(45)

Provando que A é correta:Ln(z+_Z)/i = não existe=> ln(2.3)/i= ln(6/i) ==== racionalizando==== ln(-6i), e levando em condição de existência que Loga(b)/ b>0, temos que ln(-6i) não satisfaz a C.E. de logaritmos 

ALTERNATIVA A 

Espero ter ajudado!!

kkkkk aumentou mais a dúvida kkk pois é outra resolução.
Porém acrescentou mais ao debate.
Pode ser que esta questão tenha resposta correta e que ela seja a A, como você disse.
Bom, vou tentar ver qual dessas 3 soluções são mais válidas.

Obrigado

Acredito que a resolução do Etapa esteja correta. Nao entendi muito bem a sua resolução.

Na penultima linha de sua resolução. Por que ( Z )/( |Z| )=1/( Z' ) ?

Se não me engano, para ( Z )/( |Z| )=1/( Z' ) → ( Z ).( Z' )= ( |Z| ) → |Z|²= |Z| → |Z|=0 ou |Z|=1

Cometi algum erro? Enfim, acho que voce voce errou nessa parte.

PS: Pra facilitar a notação, considere Z' como sendo o conjugado de Z.

ScienceRocks! escreveu:Acredito que a resolução do Etapa esteja correta. Nao entendi muito bem a sua resolução.

Na penultima linha de sua resolução. Por que ( Z )/( |Z| )=1/( Z' ) ?

Se não me engano, para ( Z )/( |Z| )=1/( Z' ) → ( Z ).( Z' )= ( |Z| ) → |Z|²= |Z| → |Z|=0 ou |Z|=1

Cometi algum erro? Enfim, acho que voce voce errou nessa parte.

PS: Pra facilitar a notação, considere Z' como sendo o conjugado de Z.

Desculpe-me por demorar responder.
Como faz uns tempos que fiz esses cálculos não estou entendendo meu raciocínio kkkk
Porém, creio que o erro está exatamente em ( Z )/( |Z| )=1/( Z' ) 
Errei pois a primeira relação não implica na segunda.


Enfim essa questão me deixou louco. Pois depois eu encontrei mais 1 resolução na internet e outra no facecook.


Daqui uns tempos eu vou voltar a estudar matemática deste nível e voltarei para esta questão e verei o erro dela.


Muito obrigado, tenho um bom dia.


-------------
edit:

lembro-me que esta resolução está muito é resumida. Lembro que há um raciocínio para chegar no resultado.
Enfim, futuramente vou zerar esta questão haha