[CN-1983] - Um número natural N

Um número natural N é formado por dois algarismos. Colocando-se um zero entre esses dois algarismos, N aumenta de 270 unidades. O inverso de N dá uma dízima periódica com 2 algarismos na parte não periódica. A soma dos algarismos de N é:

(A) 5
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(E) 11

Gabarito:

Spoiler:

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Até aonde eu fiz:
N → xy → 10x + y
Colocando o 0 entre x e y, temos que N aumenta de 270 unidades:
x0y = N + 270 ⇒ 100x + 10.0 + 1.y = 10x + y + 270 ⇒ 100x + y = 10x + y + 270
⇒ 90x = 270 ⇒ x = 3
Então o número N é da forma 3y. Não sei como achar o y usando que o inverso de N é uma dízima periódica com 2 algarismos na parte não periódica.

você achou corretamente
olha como fiz

o inverso de xy é 1/xy
que é 1/(30 + y)
dividi 1 por 30 + y
os primeiros algarismo dos resultado ou eram 0,02
(se y era maior do que 3)
ou 0,03
(se y era 1, 2 ou 3),
mas de qualquer forma, após ter dividido isso, se voce fizer aí, fica:
(100 - 2(30+y))/(30 + y) se y esta entre 4 e 9
ou
(100 - 3(30 + y))/(30 + y) se y esta entre 1 ou 3
porque 100 - 2 ou 3(30 + y) é o resto da divisao de 100 por 30 + y

vamos começar supondo que y é maior do que 3
(100 - 2(30 + y))/(30 + y) representa uma dizima periódica
(100 - 60 - 2y)/(30 + y) = (40 - 2y)/(30 + y) = 0,DPDPDPDP
como é DP (30 + y) é multiplo de 9 ou divisor de 99, 999, 9999...
para ser multiplo de 9, temos uma possibilidade: y = 6
para ser divisor de 99, 999...., temos outra possib: y = 3
como nesse caso supomos que y é maior do que 3, a ultima possib NAO SERVE.

temos um resposta: y = 6
vamos ver se ha outra

supondo que y é menor ou igual a 3
(100 - 3(30 + y))/(30 + y) = (10 - 3y)/(30 + y) = 0,DPDPDP
novamente y deve ser 3 ou 6, mas nesse caso y nao pode ser 6

duas respostas: o numero é 33 ou 36
vamos testa-las
1/33 = 3/99 = 0,030303
1/36 = 25/900 = 0,0277777
como o problema diz que se trata de uma dizima com dois algarismos nao periodicos, a resposta é 36

3 + 6 = 9
resposta correta é
D e nao C

Valeu Ramonss, meio complicado mas deu para entender. Em relação ao gabarito, você está certo. Sem querer, na hora de digitar, coloquei (C) em vez de (D), vou editar...

desculpe pela complicacao hehee
poderia ter feito apenas assim:
sendo y um numero qualquer, ficaria no caso que expliquei:
(100 - 2(30 + y))/(30 + y)
ou
(100 - 3(30 + y))/(30 + y)

como é impossivel haver cortes sem saber o valor de x, o denominador de ambos é
(30 + y)
como se trata de uma dizima com 2 numeros "nao periodicados", o número
30 + y pode ser escrito na forma de 990, ou 9900, ou 99000, e assim por diante
y deve ser 6, pois a soma de todos os algarismos é 18 (divis. por 3) e é par (divs. por 18)

abraço

ramonss escreveu:
como é DP (30 + y) é multiplo de 9 ou divisor de 99, 999, 9999...
para ser multiplo de 9, temos uma possibilidade: y = 6
para ser divisor de 99, 999...., temos outra possib: y = 3

ramonss, eu não entendi porque (30+y) deve ser múltiplo de 9 ou divisor de 99, 999, 9999...

Obrigado desde já.

https://pir2.forumeiros.com/t30923-cn-1983-aritmetica-numero-natural?highlight=cn+1983

sawyier veja uma solução descomplicada do mestre Elcio para esse problema.

att

Não precisaria fazer tudo o que eu fiz.

mas
1/(30 + y) é dízima periódica da forma:
a,bDPDPDPDPDPDP

Então y tem que ser divisor de 900 ou 9900 (porque esse é o denominador de uma dizima dessa forma). Para isso, y pode ser 0, 3 ou 6
Testando vemos que só o 6 vale.

Uma forma mais simples
Como o inverso da uma dizima periódica N tem que ser um múltiplo de 2^2 ou/e 5^2 pois tem 2 algarismo na parte não periódica,e entre 30 e 39 não temos múltiplos de 25 nem de 100 N vai ser um múltiplo de 4 ,ae B vai ser igual a 2 ou 6 testando na divisão de 1/n veremos que b=6