triangulo maldito

A respeito do triangulo de lado 10 cm 12 cm e 14 cm sao feitas as seguintes afirmaçoes:

* nehuma das tres alturas medidas em centimetro resulta em numero racional   
** o raio da circunferencia nele inscrita mede (4V3) / 3 cm
***a circuferencia circunscrita ao referido triangulo tem raio de medida igual a (35V6)/12 cm

resposta: V F V

como eu julgo esses itens?????????

Desenhe o triângulo ABC, tal que AB = 10, AC = 12 e BC = 14
Desenhe o círculo inscrito, com centro O e raio r
Sejam M, N, P os pontos de tangência do círculo com os lados BC, AC e AB
Seja AN = AP = x e sejam hA , hB  e hC as alturas relativas aos vértices A, B e C

BP = AB - AP ----> BP = 10 - x ---> BM = BP ---> BM = 10 - x
CN = AC - AN ---> CN = 12 - x ---> CM = CP ---> CM = 12 - x

BM + CM = BC ---> (10 - x) + (12 - x) = 14 ---> x = 4

BP = 10 - 4 ---> BP = 6 ---> BM = 6
CN = 12 - 4 ---> CN = 8 ---> CM = 8

Já temos o triângulo bem definido em dimensões; faltam os ângulos:

Lei dos cossenos ---> BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cos ---> 14² = 10² + 12² - 2.10.12.cos ---> cos = 1/5

sen²Â + cos²Â = 1 ---> sen²Â =+ (1/5)² = 1 ---> sen²Â = 24/25 ---> sen = 2.√6/5

Área de ABC ---> S = AB.AC.senÂ/2 ---> S = 10.12.(2.√6/5) ---> S = 48.√6

S = BC.hA/2 ---> 48.√6 = 14.hA/2 ---> hA = 48.√6/7 ---> altura irracional

O mesmo pode ser feito para cálculo de cosB, senB, cosC, senC e para calcular e provar que hB e hC são irracionais. Deixo para você fazer

b) No triângulo retângulo ANC ---> ON² + AN² = OA² ---> r² + x² = (hA - r)² ---> Calcule r

Deixo para você tentar o círculo circunscrito

valew

Outro modo:
1 - Use as fórmula e calcule as alturas:
h(a)=2{Vp.(p-a).(p-b).(p-c)}a
h(b)=2{.Vp.(p-a).(p-b).(p-c)}/b
h(c)=..................
2 - Área de um triângulo em função dos lados: S = Vp.(p-a).(p-b).(p-c) fórmula de Heron.---.(1)
Àrea de um triângulo em função dos lados e do círculo inscrito---> S=p.r --->(2) , onde p é o semi perímetro e r é o raio do círculo inscrito.

Calcule S e substitua o valor (2).

3 -Área do triângulo em função do raio da circunf. circunscrita;

S= a.b.c/4R----> Use o valor de S achado no ítem 1.