Valores de a para ter raízes reais

por **Ashitaka** Qui 12 Mar 2015, 11:32

A eq. x^4 + x³ + ax² + x + 1 = 0 admite somente raízes reais se a for elemento de qual intervalo real?
Valores de a para ter raízes reais NxWQa1x

Alguém poderia me explicar o motivo da última passagem?

por Luck Qui 12 Mar 2015, 23:19

y² + y + (a-2) = 0
y = (-1 ± √[1-4(a-2)]) /2 e como |y| ≥ 2 , as raízes devem ter sinais opostos, então devemos ter :
y1 ≤ -2 < 2 ≤ y2 ∴ y1 ≤ -2 < y2 e y1 < 2 ≤ y2 .

y1 ≤ - 2 < y2 :
a.f(-2) ≤ 0
1(4 -2 + a - 2) ≤ 0 ∴ a ≤ 0.

y1 < 2 ≤ y2 :
a.f(2) ≤ 0
1(4 + 2 + a - 2) < 0 ∴ a ≤ - 4

Fazendo a interseção: a ≤ - 4.

por **Ashitaka** Sex 13 Mar 2015, 07:32

Luck, só pra ver se entendi o raciocínio: o intervalo -2 < k < 2 deve estar entre as raízes e daí aplica a condição af(w) ≤ 0 para o caso dos extremos e aí faz a intersecção das respostas? Há algum motivo pro gabarito oficial não ter considerado ≤ -4 e só < -4? Parece que deveria considerar já que 2 pode ser raiz.

por Luck Seg 16 Mar 2015, 00:59

Ashitaka escreveu:Luck, só pra ver se entendi o raciocínio: o intervalo -2 < k < 2 deve estar entre as raízes e daí aplica a condição af(w) ≤ 0 para o caso dos extremos e aí faz a intersecção das respostas? Há algum motivo pro gabarito oficial não ter considerado ≤ -4 e só < -4? Parece que deveria considerar já que 2 pode ser raiz.

Sendo x1 e x2 são raízes da equação, e t um valor real que está entre as raízes :
x1 < t < x2 ,então a.f(t) < 0.
No caso, y1 e y2 são raízes e t = -2.

Se vc verifcar , a = -4 também se obtém apenas raízes reais como pede o enunciado, então não sei pq o gabarito desconsiderou :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^4+%2B+x%C2%B3++-4x%C2%B2+%2B+x+%2B+1+%3D+0

por **Ashitaka** Seg 16 Mar 2015, 09:28

Só mais uma coisa, Luck: como você chegou nessa conclusão?
"e como |y| ≥ 2 , as raízes devem ter sinais opostos"
Eu fiz um teste aqui e vi que dava um asburdo se as duas raízes fossem maiores que 2 ou se as duas fossem menores que 2. Mas como você chegou nisso?

por Luck Ter 17 Mar 2015, 01:17

Ashitaka escreveu:Só mais uma coisa, Luck: como você chegou nessa conclusão?
"e como |y| ≥ 2 , as raízes devem ter sinais opostos"
Eu fiz um teste aqui e vi que dava um asburdo se as duas raízes fossem maiores que 2 ou se as duas fossem menores que 2. Mas como você chegou nisso?

Para satisfazer |y| >= 2 , de y = (-1 ± √∆) /2 é fácil perceber que √∆ deve ser maior ou igual a 5, assim, podemos concluir que y1 e y2 terão sinais opostos. Mas ao te explicar isso notei que nem precisava desse trabalho, pois isso já te leva a resposta:
√[1-4(a-2)] ≥ 5
1 - 4a + 8 ≥ 25
4a ≤ -16
a ≤ -4